Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Комплексные случайные переменные
В предыдущих параграфах речь шла о свойствах случайных переменных, которые принимают действительные значения. При изучении же волн часто приходится рассматривать случайные переменные, которые принимают комплексные значения. Поэтому будет полезным кратко изложить методы, которые используются для описания комплексных случайных переменных.
А. Общие сведения
В основе определения любой случайной переменной лежат пространство событий {Л} и множество соответствующих вероятностей P(A). Если каждому событию А сопоставить некоторое Случайные переменные
47
комплексное число и (Л), то множеством таких возможных комплексных чисел с соответствующими мерами вероятностей будет определяться комплексная случайная переменная U.
Для математического описания статистических свойств случайной переменной U удобнее всего пользоваться совместными статистическими свойствами действительной и мнимой частей. Так, если U = R -f- /7 — комплексная случайная переменная, которая может принимать конкретные комплексные значения и = r + /t, то для полного описания переменной U нужно указать либо совместную функцию распределения переменных RhI
Fu (и) A Fw (г, i) A Prob {R < г и / < /} (2.8.1) или совместную плотность распределения переменных RnI
д2
Pu («) A Pri (г, i) = JTdT f*/(r> ')¦
(2.8.2)
либо (в качестве альтернативного варианта) совместную характеристическую функцию переменных RhI
Mu (шг, ш!)А?[ехр[(/шгг + со'/)]].
(2.8.3)
Если имеется п комплексных случайных переменных Ui1 U2, ..., U„, которые принимают конкретные значения Ui = — ri + jh, U2 = r2 + /г2 и т. д., то совместная функция распределения может быть записана в виде
Fu (и) A Prob [R1 ^rlt /?2<г2, ..., /?„<г„,
Л ^a г 1 > 12 .^? г2> • • •, In
і*«}. (2-8.4)
где рассматриваемая вероятность есть совместная вероятность того, что все указанные события имеют место, а аргумент функции Fu представляет собой матрицу-столбец с п комплексными элементами: _ _
Ui
(2.8.5)
Совместной функции распределения Fu(u) соответствует совместная плотность распределения 2п действительных переменных
irU f2, ..., Гл, М,1*2| •••> in}
<«>^ аг, ... orTou ... oin <«>¦ (2.8.6) 48
Глава 1
Наконец, это совместное распределение можно задать характеристической функцией
MuH A F [ехр (IaiU)], (2.8.7)
где ?0 и и — матрицы-столбцы с 2п действительными элементами:
— — со?
г 1
Гп к
и =
h со;
- '«_ А
(2.8.8)
Б. Комплексные гауссовские случайные переменные
Говорят, что п комплексных случайных переменных Ui, U2, ... ..., Un являются совместно гауссовскими, если их характеристическая функция имеет вид
Ми(ш)=ехр{/й<ш —уш'Сш}, (2.8.9)
где © — по-прежнему одна из матриц (2.8.8), а й— матрица-столбец с 2п действительными элементами, которые являются средними значениями элементов и, С — ковариационная матрица 2п X 2п с действительными значениями элементов, определяемая как
С = Е[(и-й) (и-й)% (2.8.10)
С помощью 2п-мерного преобразования Фурье функции Ми(ш) находится соответствующая плотность распределения
PU ^ = (2я)"'|СР ЄХР { - І {U- - С-{ {U- - ¦' (2Л1''
где |С| и С~' — детерминант ковариационной (2n X 2га)-матрицы С и матрица, обратная ей.
Для последующего изложения нам нужно определить специальный класс комплексных гауссовских случайных функций. Но чтобы сделать это, мы должны сначала ввести некоторые новые обозначения. Пусть г и і — матрицы-столбцы из п элементов, действительных и мннмых частей п комплексных слу- Случайные переменные
чайных переменных U*(k = 1, 2, ..., п). Тогда
49
г I Л
Г2 H
г А ' і'Д
-Гп-
(2.8.12)
Далее определим следующие ковариационные матрицы:
C(rr)A E [(г - г) (г - rj\, С<">Д E [(/ -7) (?-7)'], C<r'">A E [(г - г) (І - 7)'], С<"> A1 E [(/ - F) (г - г)'].
(2.8.13)
Назовем совокупность величин Ua(/г = 1, 2, ..., п) совместно круговыми комплексными случайными переменными, если выполняются следующие специальные соотношения:
D
2)
- 0 • ~ 0 ~
0 • 1= 0
0 0
Orr) = Q(Ii)t Q(ri) = _ QUD1
(2.8.14)
(2.8.15)
Чтобы стало ясно происхождение термина «круговая», лучше всего, пожалуй, рассмотреть простой случай одной круговой комплексной гауссовской случайной переменной. Имеем
г = г, C^ = O2r, Otr) = OiOr9l
1=1, CM = O2,
C^ = OrOl9,
(2.8.16)
где а2 и о2 — дисперсии действительной и мнимой частей переменной U, а р — коэффициент корреляции действительной и мнимой частей. Наложение условий циркулярности (2.8.14) и (2.8.15) приводит к требованиям
г = I= О,
Ol = а] = о2, (2.8.17)
р = 0.
Таким образом, ковариационная (2 X 2)-матрица С определяется выражением
Г er2 0 1
С=[0 ff2J, (2.8.18) 50
Глава 1
и в случае гауссовского распределения плотность распределения U принимает вид
^") = 1^4--?^}- (2.8.19)
Контуры постоянной вероятности в плоскости (г, і) оказываются окружностями, а потому U и называется круговой комплексной гауссовской случайной переменной.
