Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
? = T2 = -у- А а2. (2.9.4) Наконец, вычислим корреляцию между г и г:
N N
ri=-wY Z а*а" cos Ф* Sinipn.
п=1
Замечая, что совф sin ф = (1/2) sin 2ф, получаем
COS sin ф„ =
cos ф sin ф = О при k Ф п,
-„-sin2f = 0 прн k = n.
Следовательно, действительная и мнимая части результирующего фазора являются некоррелированными. При этом нулевые средние значения, равенство дисперсий и отсутствие корреляции имеют место при любом конечном или бесконечном N.
Чтобы подытожить наши результаты, покажем, что в пределе при очень больших N совместная плотность распределения действительной и мнимой частей суммы случайных фазоров асимптотически (приМ->-оо) принимает вид
Pri (Г, І) — -Tj^a ехр { ^2 -}. (2.9.5)
где
T2 = -Y-. (2.9.6) 54
Глава 1
Согласно ременная
терминологии, введенной в § 8, случайная пе-а, т. е. результат суммы, является круговой комплексной гауссовской переменной. На рис. 2.11 показаны контуры постоянной плотности распределения этой величины в плоскости (г, І).
В приложении Б читатель найдет, что если вместо однородного распределения для фазы элементарного фа-зора выбрано другое распределение, то полученная совместная плотность распределения, вообще говоря, ие будет иметь нулевых средних значений, одинаковых дисперсий и нулевого коэффициента корреляции. Контуры же постоянной плотности распределения на комплексной плоскости будут эллипсами (см., например, задачу 2.10).
Рис. 2.11. Контуры постоянной плотности распределения в плоскости (г, І).
В. Распределение длины и фазы результирующего фазора
В предыдущем параграфе мы говорили о совместном распределении действительной и мнимой частей суммы случайных фазоров. Но во многих приложениях больший интерес представляет распределение длины а и фазы 8 результирующего фазора:
а = д/г2 + t2. 0 = arctg у ¦
(2.9.7)
Поскольку переход от прямоугольных к полярным координатам является однозначным отображением, чтобы найти совместное распределение величин а н 8, мы можем пользоваться методами, изложенными в § 5, п. В. Обратные функции имеют вид
r = a cos 8, i = a sin 0,
а соответствующий якобиан таков:
ШЫ
д г д г
да <56
д і ді
да дв
cos0 —a sin б I sin 0 acos0
= а.
(2.9.8)
(2.9.9) Случайные переменные
55
Pilft (а, 8):
{
Таким образом, мы имеем совместную плотность распределения рАв {а, 0) = Pm (г = a cos Є, i = a sin 8) a, (2.9.10) которая в силу формулы (2.9.5) переходит в
2^ехр{-^г} при -Ж0<я, «>0.(2911)
0 в других случаях.
Теперь могут быть найдены маргинальные плотности распределений длины и фазы. Интегрируя сначала по углу 6, получаем
+я ( а f а% 1 ^ г,
ехр I--2^5"} при а>0'
0 в других случаях.
(2.9.12)
Эта функция называется рэлеевской плотностью распределения, она показана на рис. 2.12. Соответствующие среднее значение
СрА(а)
+я ґ
PaW= S Pa^cl' в)rfO — -J
—Я V
0,5 1,0 1,5 2,0 &5 3,0 Рис. 2. !2. Рэлеевская плотность распределения.
И дисперсия равны
«И2-Ilff2
(2.9.13)
Чтобы найти плотность распределения фазы 6, проинтегрируем выражение (2.9.11) по а. Получим
Р«(0) =
1
2я
OO
jj -^rexpj—при — jt<8<jt,
(2.9.14)
в других случаях. 56
Глава 1
Но этот интеграл точно равен интегралу от рэлеевской плотности распределения и поэтому должен быть равен единице. Отсюда мы заключаем, что фаза 0 суммы фазоров распределена на отрезке (—л, л) однородно, т. е.
Заметим, что совместная плотность распределения рАв(а, 0) может быть представлена в виде простого произведения маргинальных плотностей распределения рл(а) и ре(0). Следовательно, Л и 0 являются независимыми случайными переменными, как и действительная и мнимая части RwI, рассмотренные в п. Б.
Г. Постоянный фазор и сумма случайных фазоров
Рассмотрим далее статистические свойства суммы, состоящей из известного постоянного фазора и суммы случайных фазоров. Im
Рнс. 2.13. Сумма постоянного фазора и суммы случайных фазоров.
Без потери общности можно принять, что известный фазор является действительным и положительным и имеет длину S (это просто эквивалентно выбору начала отсчета фазы, которое соответствует фазе постоянного фазора). На рис. 2.13 изображена интересующая нас комплексная сумма.
Действительную часть результирующего фазора легко представить в виде
Рв(0) = { 2Я I О
прн — JT<e^Jl,
в других случаях.
(2.9.15)
N
(2.9.16)
тогда как мнимая часть остается прежней:
N
(2.9.17) Случайные переменные
57
Таким образом, единственным следствием добавления известного фазора является изменение величины действительной части результирующего фазора. В пределе больших N совместное распределение величин R и / остается приблизительно гауссовским, но изменяется среднее значение, т. е.
РпЛг, + (2.9.18)
Снова отметим, что часто интерес представляют в основном распределения длины а и фазы 8 результирующего фазора. Так как преобразование к полярным координатам совпадает с рассмотренным выше, якобиан преобразования остается равным А, и мы имеем
