Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Характеристические функции гауссовского и пуассоновского распределений, как нетрудно показать, имеют вид
Гауссовское: Mt7 (со) = exp ) ехр (/сой),
00 - k
Пуассоновское: My (to) = J] -^j- e~k ехр (/со/г) =
A-=O
= exp{fc — 1)}.
Иногда мы будем рассматривать совместную характеристическую функцию двух случайных переменных UuV, определяемую как
+ 00
Muv (coy, %) = ^ exP У (toC/" + toVw)] Puv ("> v)du dv> (2.4.22)
— 00
Совместная плотность распределения вычисляется по М(.ч (ши, cov) путем двумерного обратного преобразования Фурье. При этом совместные моменты величин U и V выражаются в виде (см. задачу 2.5)
-JTTih 1 дп+т
}п+т dtoftdtitf
Mw(O)t,, (Dv)W-O. (2.4.23)
если ТОЛЬКО I UnUm I < OO.
Наконец, совместная характеристическая функция п-го порядка случайных переменных Uu U2, ..., Un определяется следующим образом:
Щ>(со,, со2, (Dlf)AE{ехр[/(со,«, +co2w2+ ... + «„"„)]}•
(2.4.24)
В эквивалентном матричном обозначении это выражение можно записать так:
My (ш) A E {ехр [/©'«]}, (2.4.25) Случайные переменные
31
где со и и — матрицы-столбцы:
CD1 ~ U1
CD2 U2
CD = и_ = *
-Un-
(2.4.26)
а верхним индексом t обозначена операция транспонирования матрицы. Совместная плотность распределения п-го порядка ри(и) может быть получена из функции Mu (ш) путем обратного преобразования Фурье п-го порядка.
§ 5. Преобразования случайных переменных
В практических приложениях важно уметь найти плотность распределения случайной переменной после того, как над ней произведено линейное или нелинейное преобразование. Обычно нам известны плотность распределения ри('и) случайной переменной U и преобразование, которому подвергается величина LS-.
z = f(u). (2.5.1)
Задача состоит в том, чтобы найти плотность распределения Pz(г). Возможны различные подходы к решению этой задачи в зависимости от вида функции f(u).
А. Общее преобразование
Рассмотрим сначала наиболее общий случай, предполагая только, что f(u) — однозначная функция; тогда каждому значению переменной и отвечает только одно значение переменной г. (Но одному значению переменной г может соответствовать много значений переменной и.) На рис. 2.3 показана одна из возможных функций f (и).
Самый общий подход к определению pz(z) состоит в следующем: нужно сначала найти функцию распределения Fz(z), а затем продифференцировать ее по г. Обращаясь к рис. 2.3, выберем определенное значение переменной г и введем символ Lz для обозначения совокупности всех точек на оси и, которые отображаются на значения, меньшие значения г или равные ему. (На рис. 2.3 совокупность Lz — отмеченные крестиками участки оси и.) Область Lz зависит, конечно, от выбранного значения переменной г. Вероятность того, что Z ^ г, можно записать в виде
Fz (г) = Prob {і/є= Lz). (2.5.2) 32
Глава 1
Тогда плотность распределения pz(z) определяется выражением
Pz (2)=-37 Prob ^ є lJ-
(2.5.3)
Как пользоваться этими формулами, лучше всего понять на примере. Пусть LJ— случайная переменная с известной плот-
z-f(u)
Некоторое /жцчение я
iWOOOOOO. и
Рнс. 2.3. Отмеченные крестнкамн отрезки соответствуют значенням и, при которых случайная переменная Z не превышает указанного конкретного значения г.
ностью распределения Ри(и), и пусть z = au2. Требуется найти pz {z). Сначала построим функцию z = au2 (рис. 2.4). Затем выберем конкретное значение величины z и определим область Lz, как показано на рисунке. Ясно, что
Fz (Z) = Prob {Z < Z) = Prob {-Vt^^ + Vt}- <2-5-4)
Это выражение может быть переписано в виде +Vai?o -Vz/O
Fz («) = 5 Ри(и) du- J Pu(U) du.
(2.5.5)
Чтобы найти плотность распределения pz(z), остается продифференцировать (2.5.5) по г. Для облегчения решения этой задачи воспользуемся общим соотношением (которое пригодится нам и далее в ряде случаев) г (г)
5 Ри (и) du = Pu[g (z)]-g. (2.5.6)
В нашем конкретном примере для первого интеграла мы имеем
g[z)=VZ- 1
V а
а для другого
V а
dz
dg_ dz
2 л/az
__!_
2 л/а * (л/т)+*. (-ViO
(2.5.7)
Случайные переменные 33
Следовательно,
Pz (z) --
2 л/аг
Читатель может разобрать и другие примеры, предложенные в задаче 2.7.
Б. Моиотоииые функции
Если преобразование z = f(u) является взаимно однозначным отображением и, следовательно, обратимым (каждое значение переменной и отображается иа одно значение переменной z,
Z = f (и)
UZ
Рис. 2.4. Преобразование г = аи2. Отмеченная крестиками область, ограниченная значениями и = ± ^Jг/а , соответствует области Lz.
Au
Рис. 2.5. Пример взаимно однозначного преобразования вероятности.
а каждое значение величины z определяется единственным значением величины w), то возможен более простой способ нахождения функции pz(z). Такое преобразование показано на рис. 2.5. Рассмотрим малое приращение Az в окрестности точки г. Если с помощью этого преобразования мы отобразим обратно эту область приращения, то получим приращение Аи в окрестности точки u = f~l(z), где — функция, обратная функции/. Теперь воспользуемся тем, что
