Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что действительная и мнимая части круговой комплексной гауссовской случайной функции не коррелированы и, следовательно, независимы. Если же U1 и U2 — две такие совместные случайные переменные, то действительная часть величины Ui может иметь любую степень корреляции с действительной и мнимой частями переменной U2, если только в соответствии с (2.8.15) выполняются условия
r,r, ^= Iitof
-L L- (2.8.20)
rll2 —
Круговые комплексные гауссовские случайные переменные часто встречаются на практике. Важное свойство таких случайных переменных выражается теоремой о комплексных гауссовских моментах, которая может быть доказана на основании теоремы о действительных гауссовских моментах [формула (2.7.13)] и условий циркулярности (2.8.14) и (2.8.15). Пусть Ub U2, ... ..., U2A — совместные круговые комплексные гауссовские случайные переменные с нулевым средним значением. Тогда
и; ... иХ+1 ••• U2ft= Z .. • (2.8.21)
где суммирование проводится по k\ возможным перестановкам (р, q, ..., г) индексов (1,2, ..., k). В простейшем случае, когда
А = 2, имеем ____
u;u;u3u4 = 0?? + U>4U^U3. (2.8.22)
§ 9. Суммы случайных фазоров
Во многих областях физики, и в частности в оптике, приходится иметь дело с комплексными случайными переменными, представляющими собой сумму многих малых «элементарных» комплексных вкладов. В роли таких комплексных чисел часто выступают фазоры, характеризующие амплитуду и фазу возмущения монохроматической или квазимонохроматической волны. Комплексное сложение многих малых независимых фазоров выполняется, например, при вычислении полной комплексной амплитуды волны, которая формируется при рассеянии на совокупности Случайные переменные
51
малых независимых рассеивателей. Вообще говоря, такие комплексные суммы возникают, когда мы складываем некоторое число комплексных аналитических сигналов, которые определяются и детально обсуждаются в гл. 3, § 8. Здесь же мы рассмотрим свойства сумм комплексных случайных переменных, которые будем называть суммами случайных фазоров.
А. Исходные предположения
Рассмотрим сумму очень большого числа N комплексных фазоров; при этом пусть А-й фазор имеет случайную длину /N
Мнимая
часть
н случайную фазу tp*. Результирующий фазор с длиной а и фазой O определяется следующим образом (рис. 2.10):
N
a = fle'e = 4rla^' (2.9.1)
Для упрощения анализа мы сделаем ряд предположений относительно статистических свойств суммируемых элементарных фазоров, которые, как правило, выполняются в представляющих интерес практических задачах.
1. Амплитуда ctfc/д/N и фаза (pk элементарного фазора с номером k статистически независимы друг от друга, а также от амплитуд и фаз всех других элементарных фазоров.
2. Случайные переменные а* при всех k имеют одинаковые распределения со средним значением а и вторым моментом а2.
3. Фазы ф* распределены однородно на интервале (—я,я).
Из указанных предположений первое имеет наиболее важное
значение, тогда как второе и третье могут быть смягчены при 52
Глава 1
некоторых изменениях в конечных результатах (см., например, работу [2.10] и приложение Б).
Пусть действительная и мнимая части г и і результирующего фазора имеют вид
N
г ARe {ае'в} = -J= Yj ak cos <рь
k~s (2.9.2)
і A Im {ае'в} = J] a*sin<p*.
Учитывая, что г и і представляют собой суммы многих независимых случайных вкладов, мы приходим к выводу, что в силу центральной предельной теоремы г и і будут приблизительно гауссовскими случайными переменными при больших значениях N1). Чтобы определить детальный вид совместной плотности распределения для г и г, мы должны сначала вычислить г, і, а2, а2 и их коэффициент корреляции р.
Б. Вычисление средних значений, дисперсий и коэффициента корреляции
Средние значения действительной и мнимой частей г и / вычисляются следующим образом:
N N
akCOS<fk = ^rYj akcosq>k = <yjN acosqj,
N N
і = -J= У afe sin <pfe = -J= У ak sin <pfe = -yjN a sin <p.
Здесь мы воспользовались тем, что a^ и ср* независимы и распределены одинаково при всех k. Но, кроме того, согласно предположению 3, случайная переменная <р однородно распределена на интервале (—л, л), что приводит к равенству cos ф = sin ф = 0, а отсюда к равенству
г = 7=0. (2.9.3)
Таким образом, оказывается, что действительная и мнимая части имеют нулевые средние значения.
') Отметим одну тонкость. Хотя очевидно, что маргинальные распределения величин г н і асимптотически являются гауссовскими, нами не доказано, что эти две случайные переменные являются совместно гауссовскими. Такое доказательство приведено в приложении Б. Случайные переменные 53
Чтобы вычислить дисперсии а2 и о\, достаточно найти вторые моменты г2 и і2 (так какг=/ = 0). Поскольку амплитуды и фазы независимы, напишем
N N
г2=~1Г J] Z а*ая coscPft c°s<p„,
ft = l rt = l N N
і2=—Z Z а*а"sin к cPsir'
ft=Iп=1
Кроме того, выполняется соотношение
О при k Ф п.
Sin фл = I
COS фй COS ф„ = sin <pft Sin фл = \ і при k==n
вытекающее снова из однородного распределения фаз. Таким образом, мы имеем
