Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
В качестве упражнения (см. задачу 2.1) читатель может доказать следующее соотношение между моментами случайной переменной: _
И2 = (й)2 + (Т2.
Квадратный корень из дисперсии er, называемый среднеквадратичным или стандартным отклонением величины U, является мерой разброса значений случайной переменной U.
Б. Смешанные моменты случайных переменных
Пусть U и V — случайные переменные, характеризуемые совместной плотностью распределения puv(u,v). Смешанные моменты величин UnV определяются выражением
+ OO
мVй Д ^ 5 UnVmPuv (и, V) du dv. (2.4.8)
-OO
Особый интерес представляют такие моменты, как корреляция случайных переменных U и V
+ со
Г у V -UV= ^ ^ Uvpuv (и, v) du dv, (2.4.9)
—00
ковариация величин U и V
Cuv = (u — u)(v — v) = Tuv — uv (2.4.10)
и коэффициент корреляции величин U и V
O = -TT- (2-4-П>
ksU0V
Коэффициент корреляции есть прямая мера подобия флук-туаций переменных U и V. Покажем, что модуль величины р всегда лежит в пределах от нуля до единицы. Для этого воспользуемся неравенством Шварца, которое выполняется для любых двух (действительных или комплексных) функций f (u,v) и g(u, о)1):
+ OO 2
5 5 f(", v)g(u, v) dudv <
-OO
+ OO +00
<5 \ If(u, v)\2dudv\j J |g(w, v)fdudv, (2.4.12)
') Мы будем обозначать жирными буквами величины, которые могут иметь комплексные значения. 28
Глава 1
причем равенство справедливо только при условии
g(u,v) = &V(u,v), (2.4.13)
где а — комплексная постоянная, а «звездочка» означает комплексное сопряжение. Выбирая
і (и, о) = (ы -й) л/Puy (и, v), ,„,,,V
---(2.4.14)
g (и, v) = (v — v) VPuv ("> v)>
получаем
+ OO
^ ^ (и — и) (V — V) puv (и, v) du dv
2
<
4*00 -f OO
^ (u — Ufpuv(u, V )dudv^ ^ (v — v)2puv(u, v) du dv (2.4.15)
-OO -OO
или эквивалентное соотношение I Cuv | =? OuOv, чем и доказывается, что
0<|р|<1. (2.4.16)
Если р = 1, то говорят, что величины U и V полностью кор-релированы; это означает, что их флуктуации идентичны с точностью до возможных масштабных коэффициентов. Если р = —1, то говорят, что переменные U и V антикоррелированы\ это означает, что их флуктуации идентичны, но противоположны по знаку (снова с точностью до масштабных коэффициентов), например большое положительное отклонение величины U совпадает с большим отрицательным отклонением величины V.
Если коэффициент корреляции р тождественно равен нулю, то говорят, что величины LJ vi V не коррелированы. Читатель может легко показать (см. задачу 2.2), что две статистически-независимые случайные переменные всегда некоррелированы. Однако обратное неверно, т. е. из того, что коэффициент корреляции равен нулю, не следует статистическая независимость. Классической иллюстрацией этого являются случайные переменные
U = cose,
. „ (2.4.17)
V = sin 0,
где в — случайная переменная с однородным распределением в интервале (—я/2, я/2), т. е. с плотностью распределения
Ч*
I О
I It - л ^ я
— при -т<0<-
Pe (б) = і я "Г"" 2 2
в других случаях. Случайные переменные
29
Известным значением случайной переменной V однозначно определяется переменная U, и поэтому эти две случайные переменные статистически зависимы. Читатель может легко убедиться (задача 2.3), что величины U и V [формула (2.4.17)] являются некоррелированными случайными переменными.
В. Характеристические функции
Характеристическая функция случайной переменной U определяется как математическое ожидание функции exp (j<au):
+ 00
мс/(и) Д § ехр(/ош) Pu (и) du. (2.4.18)
-OO
Таким образом, характеристическая функция есть фурье-образ1) плотности распределения переменной U. Если этот интеграл существует, по крайней мере в смысле, определяемом свойствами б-функций, то соотношение (2.4.18) обратимо и плотность распределения можно представить в виде
+ 00
Ри(и) = -^Г $ My (со) ехр (— jau) da. (2.4.19)
— 00
Следовательно, характеристическая функция содержит всю, информацию о статистических свойствах первого порядка случайной переменной U.
При определенных условиях характеристическую функцию [а на основании формулы (2.4.19) и плотность распределения] можно найти, зная моменты п-го порядка для всех п. Чтобы продемонстрировать это, разложим экспоненциальную функцию в выражении (2.4.18) в степенной ряд:
OO
ехр (/(DU) = J]
п=О
Предполагая, что порядок суммирования и интегрирования может быть изменен, получаем
оо +оо со
MtZ(CD) = E -?1 S UnPu (U) du =Z iIT-(2-4-2°)
п=О —оо п=О
(Из условий, при которых допустимо изменение порядка интегрирования и суммирования, произведенное выше, следует, что этот результат справедлив только в том случае, если все
') Краткая свода фурье-образов приводится в приложении А. ЗО Глава 1
моменты конечны, а получающийся ряд абсолютно сходится [2.3].)
Кроме того, если существует п-й абсолютный момент ^ \и\п Pu{u)du, то п-й момент переменной U может быть
-OO
найден, как это видно из выражения (2.4.20), следующим образом:
F SF Кн." (2А21)
