Статистическая оптика - Гудмен Дж.
ISBN 5-03-001162-5
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы ввести понятие случайной переменной. Каждому возможному элементарному событию А нашего рассматриваемого случайного эксперимента сопоставим действительное число и(А). Случайная переменная U есть набор всех возможных значений и {А) вместе с соответствующей мерой их вероятностей 1J. Подчеркнем, что в понятие случайной переменной входят как набор величин, так и связанные с ними вероятности и, следовательно, оно охватывает всю статистическую модель, которую мы принимаем в качестве гипотезы для описания случайного явления.
§ 2. Функция распределения и плотность распределения
Случайная переменная U называется дискретной, если результаты эксперимента представляют собой дискретный набор возможных чисел. Случайная переменная называется непрерывной, если экспериментальные результаты могут лежать где угодно в некоем континууме возможных значений. Иногда встречается смешанная случайная переменная, когда результаты оказываются либо в дискретном наборе (с определенной вероятностью), либо располагаются в континууме.
Во всех случаях удобно описывать случайную переменную U, пользуясь функцией распределения Fu(м), которая определяется следующим образом2):
Fy(M) = Prob (2.2.1)
таким образом, это вероятность того, что случайная переменная U примет значение, не превышающее конкретного значения и. Опираясь на основные аксиомы теории вероятностей, мы можем показать, что такая функция Fu(U) обладает следующими свойствами:
1) Fu(U) не убывает с увеличением аргумента.
2) Fy (-оо) = 0.
3) Fu (+оо) = 1.
На рис. 2.1 показаны типичные формы функции Fu(u) в дискретном, непрерывном и смешанном случаях. Заметим, что вероятность того, что U лежит в пределах а <. U^b, может быть записана в виде
_ Prob {а < U ^.b} = Fu(b) — Fu(а). (2.2.2)
*) Здесь н в гл. 3 мы обозначаем случайные переменные заглавными буквами, а конкретные значення случайных переменных — маленькими буквами.
2) Символом Prob { } обозначена вероятность события, указанного в скобках. Случайные переменные
21
Более важной для нас с точки зрения практического применения будет плотность распределения ри(и), определяемая
так'):
Pu {и) Fu(U). (2.2.3)
Когда мы имеем дело с непрерывной случайной переменной U, трудностей применения этого определения не возникает, так как функция Fu (и) всюду дифференцируема. Из того что по определению производной
Pu(U)= lim X
X
Fu (U)-Fu (и-Ли)
Au
мы видим, что но малых Au
при достаточ-
Pu (и) Au м Fu (и) —
-Fu (и — Au) - Prob {и —
— Au < U < и),
или, в словесной формулировке, Pu(и) Au есть вероятность того, что U лежит в области и — Au < U и. Из фундаментальных свойств . функции Fu(U) следует, ЧТО Pu (и) должна иметь следующие основные свойства:
оо
Ри(и)> о, ^ Pu(u)du= 1.
(2.2.4)
Вероятность того, что U примет значение, лежащее в пре-
Fv(U)
1,0
J_I
Ui Uj
а
Fu(U)
1,0
FuM
щ
Рнс. 2.1. Примерные функции распределения: а) дискретной, б) непрерывной н б) смешанной случайных переменных.
делах от а до Ь, может быть выражена через плотность вероятности:
Prob {а < (У <6} = jj Pu(U) du.
(2.2.5)
') Символ ,А. означает «равно по определению». — Прим. перев. 22
Глава 1
Если U — дискретная случайная переменная, то Fu (и)—разрывная функция и, следовательно, ри(и) не существует в обычном смысле. Но мы можем включить этот случай в наше по-
PuW
Площади. Р(щ) P(U1) > P(U2)
_L
P(Ull)
и, Uz U3
а
Ut
Ри(Щ
PuiЩ
Рис. 2.2. Примеры плотности распределения: а) дискретной, б) непрерывной и в) смешанной случайных переменных.
строение, введя б-функции Дирака [2.9, гл. 5]. Плотность распределения принимает вид
Pu (") = Z P (Uk) O (и — Uk),
(2.2.6)
причем {«;, и2, ..., uk, ...} есть дискретный набор возможных численных значений, а для б-функции определены свойства')
б (и — uk) — о, иф uk,
+ со
5 g(u)b(u-uk)du = g(u~).
(2.2.7)
Плотность распределения смешанной случайной переменной содержит как непрерывную, так и 6-образные компоненты. На
') Символом g (uk) обозначен предел функции g(u) при и, стремящемся к Uk слева. В случае непрерывной функции g(u) имеем ("ft) — 8 iuk)' Случайные переменные
23
рис. 2.2 показан характер плотности распределения для этих трех случаев.
Для иллюстрации непрерывного и дискретного случаев приведем две конкретные плотности распределения, важные для нас в последующем изложении:
Гауссовская (нормальная) плотность распределения
I \ 1 \ (и — й)2)
Ри Vz^expI 2^/' Пуассоновская плотность распределения
Po(U) = Z sW- -V'
S=O
где й, а и k — параметры,
§ 3. Совместное распределение двух
и большего числа случайных переменных
Рассмотрим два случайных эксперимента с наборами возможных событий {Л} и {S}. Если события берутся парами, по одному из каждого набора, то получится новый набор возможных совместных исходов; обозначим его через {/4XS}- Относительную частоту, с которой конкретное событие А наступает совместно с конкретным событием В, обозначим через n/N, где N — число совместных экспериментальных испытаний, а п — число случаев, когда события А и В наступают как совместные результаты двух экспериментов. Введем вероятность совместных событий P(A1B) для этой пары исходов, а конкретное значение этой вероятности определим, основываясь на нашей интуитивной оценке предельного значения относительной частоты n/N. Поскольку P(AtB)—вероятность, она должна удовлетворять аксиомам, приведенным в § 1.
