Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
а'х -jс' = 0,
в котором хотя бы один из отрезков а’ или V не равен нулю. Если Ь'= 0, то умножим обе части этого равенства слева на отрезок а, определяемый соотношением аа'— 1; если же Ь' 0, — то на отрезок b, определяемый соотношением bb'— 1. Тогда, иа основании правил исчисления отрезков, мы получим одно из найденных ранее уравнений прямой, и в рассматриваемой плоской геометрии мы легко можем построить прямую, удовлетворяющую этому уравнению.
Подчеркнём ещё, что при наших предположениях уравнение между отрезками вида
xa-\-yb-\- с = О,
в котором множители а, b стоят справа от координат х, у, вообще говоря, н е представляет прямую.
В § 30 мы дадим очень важное, применение теоремы 55.
§ 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система
Мы уже упоминали, что в нашем новом обоснованном в § 24 исчислении отрезков выполняются предложения
1—6 § 13.
Далее, в § 25 и § 26 мы убедились с помощью теоремы Дезарга, что в этом исчислении отрезков имеют место вычислительные правила 7—Л1 § 13; итак, все предло-
§ 29. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ 163
женик о соединении и вычислительные правила, за исключением коммутативного закона . умножения* оказываются справедливыми.
Наконец, для того, чтобы сделать возможным упорядочение отрезков, установим следующее правило.
Пусть А и В— какие-то отличные друг от друга точки прямой ОЕ; в соответствии с теоремой 5, из четырёх точек О, Е, А, В можно образовать последовательность, в которой точка Е находилась Т5ы позади точки О [64]. Если точка В в этой последовательности расположена позади точки А, то мы говорим, что отрезок а = ОА меньше отрезка Ь=ОВ, и обозначаем это так:
а<С Ь;
если же, напротив, в этой последовательности точка А расположена позади точки В, то мы говорим, что отрезок а — ОА больше отрезка Ь=ОВ, и обозначаем это так:
а^> Ь.
Легко убедиться, что вычислительные законы 13 —16 §13 будут теперь, в силу аксиом 11, выполняться в нашем исчислении отрезков [6В]. Итак, совокупность всех отличных друг от друга отрезков образует комплексную числовую систему, в которой имеют место законы 1 —11, 13—16 § 13, т. е. имеют место все правила, за исключением коммутативного закона умножения и предложений непрерывности. В дальнейшем такую числовую систему мы будем называть числовой системой Дезарга.
§ 29. Построение геометрии пространства с помощью числовой системы Дезарга
Пусть у нас имеется некоторая числовая система Дезарга D; о н а позволяет построить пространственную геометр и.ю, в которой выполняются все а к с и о м ы 1, 11, IV*.
Чтобы уяснить себе это, примем систему каких-либо трёх чисел (х-, у, г) дезарговой числрвой системы D за 11*
164
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
точку, а систему каких-либо четырёх чисел (uw.w.r) системы D, у которой по крайней мере одно из трёх первых чисел отлично от нуля, — за плоскость. Пусть при этом системы (uw.w.r) и (au:av:aw:ar), где а—любое отличное от нуля число области D, представляют одну и ту же плоскость. Пусть, далее, справедливость равенства
их vy WZ г = О
означает, что точка (х, у, г) лежит в плоскости (uw.w.r) [66]. Наконец, прямую мы определим как систему двух плоскостей (и' :v' :w' -.г') и (и" w" :w” :г"), таких, что в области D не найдётся ни одного отличного от нуля числа, для которого одновременно имели бы место три равенства: •
аи' = a", av' — v", aw' = w”.
Мы будем говорить, что точка (х, у, г) лежит на прямой
[(«': г»': w’: г’), (и": v": w": r")\,
если она является общей точкой обеих плоскостей (и’ :vf :w':/) и (!i":v":w”:r"). Две прямые, содержащие одни и те же точки, считаются тождественными.
Применив законы 1—11 § 13, которые по предположению должны выполняться для чисел области D, мы без труда придём к заключению, что для только что построен-' ного пространства все аксиомы групп I и IV* должны выполняться [67].
Для того чтобы аксиомы II порядка также выполнялись, введём следующие условия. Пусть
(*i. У^ *i). (*2, У2, гг), (*8, Уъ, гз)
— какие-либо три точки прямой
[(u':v':w':r’), (и”: v"\w" :гп)];
мы будем говорить, что точка (х2, у2, z2) лежит между двумя другими точками,_ если выполняется по крайней ме-
§ 29. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ 165
ре одна из следующих шести пар неравенств: xl х2 xs, Jtj х% х3, Ух<Уг<Уъ, Уг>У2>Уь,
(П
(2)
(3)
г 1 < г2 < *„ г, > г2 > гй.
Легко показать, что если имеет место одно из двух двойных неравенств (1), то, во-первых, либо у1=у2=у3, либо должно выполняться одно из двух двойных неравенств (2) и, во-вторых, либо г, =г2~г3, либо должно выполняться одно из двух двойных неравенств (3). Действительно, умножив слева уравнения
на подходящим образом подобранные, отличные от нуля числа области D и сложив затем полученные равенства, мы получим систему уравнений вида
