Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, сумма углов в треугольниках АВЕ и
ABC одинакова.
Из неравенства [5 в силу теорем 23 и 12, следует, что
а' < у', и отсюда, что Черт. 33. a! .
Любому треугольнику ABC и какому-либо из его углов а можно поставить в соответствие другой треугольник, имеющий ту же сумму углов* в котором один из углов
меньше или равен у ; тем самым, для любого натурального
числа г можно иайти треугольник, имеющий ту же сумму углов [что и АВС\ у которого один из углов меньше или
равен .
Предположим теперь, что, вопреки утверждению первой теорему Лежандра, сумма углов данного треугольника больше двух прямых.
Из теоремы 22 следует, что сумма двух углов треугольника меньше двух прямых. Сумму углов данного треугольника можно представйть в виде
a + P + Y = 2P-K
где ? — некоторый угол, а р — прямой угол. В силу теоремы 34 найдётся натуральное число г такое, что^<^г.
§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ 101
Построим теперь по указанному способу треугольник с углами а*, у*, которые удовлетворяют соотношениям:
a* + P» + Y* = 8f» + e,
В этом треугольнике
Р* + Т*>2р,
что противоречит теореме 22. Тем самым первая теорема Лежандра доказана.
Теорема 36. Если в четырехугольнике ABCD [черт. 34] углы А и В прямые и если кроме того противоположные стороны AD и ВС кон-груентны, то углы С и D кон-груентны друг другу. Далее, перпендикуляр, восставленный из середины М стороны АВ, пересекает противоположную сторону CD в точке N, причём оказывается, что четырёхугольники AMND и BMNC конгру-ентны.
Доказательство. Перпендикуляр, восставленный из точки М к отрезку АВ, проходит, как это следует из теорем 21 и^22, внутри угла ^DMC и, в силу одной из упомянутых на стр. 68 теорем, пересекает отрезок CD в точке N. Из теорем 12, 21 и 15 следует, что треугольники MAD и МВС и тем самым и треугольники MDN и MCN конгруентны. Из этих конгруеит-ностей при помощи теоремы 15 получается, что
2?BCN = $:ADN.
Таким образом, четырёхугольники AMND и BMNC конгруентны.
Теорема 37. Если в четырёхугольнике A BCD [черт. 35] все четыре угла прямые, то перпендикуляр EF, опущенный из произвольной точки Е прямой CD на противоположную сторону АВ, перпендикулярен также н CD.
Доказательство. Введем понятие зеркального отражения от прямой а следующим образом: если из какой-либо точки Р опустить перпендикуляр на некоторую
Черт. 34.
102 ГЛ. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ и независимость аксиом
прямую а и продолжить этот перпендикуляр до точки Р' иа такое же расстояние, то точка Р' называется зеркальным изображением точки Р.
и~
?, С
тр-п-
f, в
Черт. 35.
Построим зеркальные изображения отрезка EF относительно прямых AD и ВС. Из второй части теоремы 36 вытекает Г41], что зеркальные изображения ?,F, и
•^2^2 как и
точка F, лежат на прямой АВ, точки же Ег и Е2 вместе
конгруентны отрезку EF. Точки Fx и так же
с точкой Е лежат на прямой CD. Четырёхугольники EFFxEr,
и
потому четыре угла, вершины которых находятся в точках Е, Еь
EFF2E2 и E]F^F2E2 подходят под условие теоремы 36
С,
В
Черт. 36.
В,
Егл конгруентны друг другу. Поэтому у одной из этих точек имеются два равных смежных угла (на чертеже 35 у точки ?,), т. е. четыре указанных угла — прямые.
Теорема 38. Если существует хотя бы один четырёхугольник с четырьмя прямыми углами, то у любого четырёхугольника, имеющего три прямых угла, четвёртый угол также прямой.
Доказательство. Пусть у четырёхугольника A'B'C'D' все четыре угла прямые, и пусть ABCD [черт. 36] какой-то четырёхугольник.с тремя прямыми углами А, В и D. Построим четырёхугольник AB1C1DV конгруентный A'B'C'D', у которого прямой угол при точке А совпадал бы с углом А в четырёхугольнике ABCD.
Если точка В совпадёт с Bt или точка D — с D,, то условие теоремы 37 оказывается выполненным. Если точка
§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ 103
А
36, из
D,
теоремы
F. Теорема 37 с
ВС и C,D, пере-
показывает
В лежит между А и Ву, а точка D так же, как и в доказательстве теоремы о внешнем угле следует, что отрезки секаются в некоторой точке далее, что угол при точке F, а вследствие этого и при точке С—прямой.
