Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема полноты не является следствием аксиомы Архимеда. Действительно, одна только аксиома Архимеда, рассматриваемая совместно с аксиомами I—IV, недостаточна, чтобы показать, что наша геометрия тождественна с обычной декартовой аналитической геометрией (см. § 9 и § 12). Напротив, присоединение аксиомы полноты—хотя в самой формулировке , этой аксиомы ничего не говорится о понятии сходимости, — даёт возможность доказать существование границы множества, соответствующей сечению Дедекинда, и теорему Больцано о существовании точки сгущения (предельной точки), чем и доказывается тождественность нашей геометрии с геометрией Декарта.
С помощью предыдущего исследования требование непрерывности разложено на две существенно различные составные части, а именно: нд аксиому Архимеда, на которую возлагается задача подготовить требования непрерывности, и. на аксиому полноты, которая служит э*::
§ 8. ПЯТАЯ ГРУППА АКСИОМ
91
ключительным звеном во всей системе аксиом*).
Во всех дальнейших исследованиях мы будем существенно опираться только на аксиому Архимеда, не требуя, вообще говоря, выполнения аксиомы полноты.
*) См. также замечания в конце § 17, а также мой доклад о понятии числа, напечатанный здесь в качестве добавления VI. (Этот доклад был опубликован в Berichte der Deutschen Mathe-matiker-Vereinigung, 1900.) Исследование о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника приводвт нас к двум дальнейшим аксиомам непрерывности; см. добавление II к этой книге, стр. 202, а также мою статью «Ueber den Satz von der Oleiehheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck», Proceedings of the London. Mathematical Society, т. XXXV, 1903.
ГЛАВА ВТОРАЯ
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И ВЗАИМНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ § 9. Непротиворечивость аксиом
ксиомы пяти групп, установленных в первой главе, не противоречат друг другу, т. е. с помощью логических умозаключений из них нельзя вывести положения, которое противоречило бы какой-либо одной из них. Чтобы убедиться в этом, мы образуем из действительных чисел систему вещей, в которой будут выполняться все аксиомы пяти групп.
Рассмотрим сначала поле ?2, образованное алгебраическими числами, которые получаются, если исходить из 1 и конечное число раз применять четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение, деление — и пятую операцию: | V1 -{- ю21, где со означает число, ранее полученное при помощи указанных пяти операций.
Мы рассматриваем пару чисел (х, у) поля Q как точку, а отношение (u:v:w) трёх чисел поля Q, если только и и v оба не равны нулю, как прямую; далее, пусть равен-, ство
их -[ - vy- \-w = 0
означает, что точка {х, у) лежит на прямой (u:v.w)\ тогда, как легко видеть, аксиомы Ij_3 и IV оказываются выполненными [36]. Числа, принадлежащие полю Q, действительны; принимая во внимание, что эти числа могут быть упорядочены по своей величине, мы легко можем так установить отношения порядка для наших точек и прямых,
§ 9. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМ
93
чтобы выполнялись также и все аксиомы группы II (аксиомы порядка). Действительно, пусть (хи уг), (л;2, у2), (х3, _у3), ... суть какие-то точки на некоторой прямой; будем считать, что они располагаются именно в этой последовательности на прямой, если числа хх, х2, х%, ... или числа yv у%, у3, • • ¦ , взятые в этой последовательности, либо постоянно убывают,-либо постоянно возрастают; далее, чтобы убедиться в выполнении аксиомы Н4, достаточно установить, что все точки (х,у), для которых их vy -f- w меньше нуля, -лежат по одну сторону от прямой (u:v:w), а все точки (я, у), для которых их -\-vy-\- w больше нуля,— по другую сторону от этой прямой. Легко убедиться в том, что это правило согласуется с предыдущим условием, определяющим последовательность точек на прямой [з7].
Откладывание отрезков и углов выполняется известными уже из аналитической геометрии способами. Преобразование вида
х' = X-\-d,
У=у + Ь
даёт параллельный перенос отрезков и углов, а преобразование
х' = х, у' = -у
— зеркальное отображение относительно прямой- ^ = 0. Обозначим, далее, точку (0,0) буквой О, точку (1,0)-^-буквой Е и произвольную точку (а, Ь) — буквой С (черт. 29]. Тогда произвольная точка (х, у) посредством вращения вокруг точки О на угол СОЕ переходит в точку (х',у'), где
,___ а b
Х ~~УЖ+Т> Х
У У а*-\-Ь* Х У
Черт. 29.
94 гл. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
Так как число У а2-\- Ь2 = Ь у 1 (yj2 также принадлежит полюй, то при наших предположениях выполняются аксиомы конгруентности lllj_4, и.очевидно, что аксиома о конгруентности тргугольников Ш5 и аксиома Архимеда Vj при этом также выполняются. Что же, касается аксиомы полноты, то она места не имеет [38].
Каждое противоречие, которое могло бы получиться из линейных и плоскостных аксиом I—IV, Vj, должно было бы тем самым проявиться в арифметике поля Q*).
