Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 69

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 132 >> Следующая

следующей таблицей умножения:
е'2 - s' - s'2 = t2 - ? -- г, j - j 2 = e , se' = e's = s', te' = e't =
t', je' = e'j = j', si = t's = j, sj = js' = t, is = s't = j'.
Остальные соотношения определяются уже написанными (см. (17)).
*) Такие двузначные представления, как мы ниже увидим, встречаются в
физических применениях теории представлений группы Лоренца.
188
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Однозначные представления группы отражений являются уже не точными
представлениями этой группы из восьми элементов, а такими, что Те, - Те,
Та, - Т3 ит. д. Эта связь между представлениями группы отражений и
построенной нами группы из восьми элементов полностью аналогична той,
которая имеется между представлениями собственной группы Лоренца и группы
комплексных унимодулярных матриц второго порядка.
10. Основные различия между представлениями группы вращений трехмерного
пространства и группы Лоренца. В первой части книги мы видели, что всякое
представление группы вращений соответствующим выбором скалярного
произведения можно сделать унитарным и, кроме того, всякое неприводимое
представление этой группы конечномерно.
Ни то, ни другое не имеет места для группы Лоренца: у нее существуют не
унитарные представления (само определяющее эту группу представление в
четырехмерном пространстве не унитарно), и, как мы увидим ниже, у нее
существуют бесконечномерные неприводимые представления.
Эти существенные различия между представлениями группы вращений и группы
Лоренца .связаны с тем, что первая из них компактна, т. е. из любой
последовательности вращений можно выделить сходящуюся
подпоследовательность, вторая же группа некомпактна: можно указать
последовательность преобразований Лоренца, никакая подпоследовательность
которой не сходится. В компактности группы вращений можно убедиться,
например, так: каждое вращение записывается ортогональной матрицей
третьего порядка; таким образом, группа вращений образует некоторое
замкнутое множество и в девятимерном пространстве всех матриц третьего
порядка. Поскольку сумма квадратов всех элементов у ортогональной матрицы
Ц^Ц равна
2*?* = з,
(, к
то замкнутое множество G в девятимерном пространстве ограничено и
следовательно, компактно.
Для того чтобы убедиться, что группа Лоренца некомпактна, поступим так:
выберем на гиперболоиде s2(x) = l последовательность точек Ах, Д", Д3,
..., Ап, ..., уходящих в бесконечность. Если теперь взять
последовательность преобразований Лоренца gn таких, что gnO = Ап (О -
вершина нашего гиперболоида), то, как легко видеть, из последовательности
{gn} нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Из теории топологических групп известно, что в компактных группах можно
ввести инвариантное интегрирование, т. е. всякой ограниченной функции
f(g) на компактной группе G можно приписать конечный интеграл
J* f(g)dg, не меняющийся при левых и правых сдвигах функции по группе
т. е. такой, что
J / (ggo) dg = J / (g0g) dg = f f (g) dg при всех g0*).
Напомним, как из этого обстоятельства следует унитарность всех
представлений компактных групп. Выберем в пространстве R, где действует
представление g-*-Tg компактной группы, положительно определенную
билинейную эрмитову форму (<[ц, <|>,). Образуем новую форму
('К. <h)l=J (Тд'Ь Tghh dg
*) В первой части (§ 1) была, например, вычислена инвариантная мера на
группе вращений.
П. 1] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
189
{фЗ'нкция (Тд<\/Тд^г) ограничена, как всякая непрерывная функция на
компактном множестве). Очевидно, что эрмитова форма (<[ц, ф2)г
положительно определена и инвариантна относительно операторов Тд
(гд^ъ T'g'h)i = (4t> Wi-
Если в пространстве R с помощью формы (ф>1, <b)i задать скалярное
произведение, то относительно него представление g-+Tg будет уже
унитарным.
Приведенные рассуждения теряют силу для некомпактных групп, в частности
для группы Лоренца, по двум причинам: во-первых, хотя на группе Лоренца и
можно ввести инвариантное двустороннее интегрирование, но оно
распространяется уже не на все ограниченные функции на этой группе и, во-
вторых, функция (Тд'Ь^ Тд'1>2), с помощью которой мы строили инвариантное
скалярное произведение, может даже оказаться неограниченной, так что ее и
подавно нельзя интегрировать. Оба эти обстоятельства являются след-
стаия.ми некомпактности группы Лоренца.
Покажем, наконец, что всякое неприводимое представление компактной группы
конечномерно.
Пусть в пространстве R действует представление g-*- Тд компактной группы.
Как сказано выше, его можно считать унитарным. Это значит, что если h -
вектор из R и \\h\\ = 1, то и \\Tgh\\ =1, т. е. образы единичного вектора
h в R лежат на сфере радиуса 1. Очевидно, что из компактности группы
следует компактность множества {Tgh} всех образов вектора к. Но всякое
компактное множество на единичной сфере в гильбертовом пространстве
содержится в конечномерном подпространстве. С яругой стороны, в силу
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed