Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
неприводимости представления линейная оболочка множества {Тд'п} совпадает
с R. Итак, R конечномерно.
Совершенно ясно, что эти рассуждения, опирающиеся на компактность группы,
уже непригодны в случае группы Лоренца.
§ 2. Инфинитезимйльные операторы и представления собственной группы
Лоренца
Основные однопараметрические подгруппы в группе Лоренца. В § 2 части I
для каждого представления группы вращений были введены матрицы
(операторы) Аи А2, А3, действующие в пространстве R и отвечающие
бесконечно малым поворотам вокруг осей xv х2 и хg. Там же бвшо показано,
что по этим трем матрицам Ак представление группы вращений
восстанавливается однозначно. Аналогичные операторы мы построим для
представлений собственной группы Лоренца.
Как было показано в части I, всякое вращение трехмерного пространства
можно осуществитв с помощью последовательного выполнения трех поворотов:
в плоскости (х1; х2) (вокруг оси х3); в плоскости (х1( х3) (вокруг оси
х2) и, наконец, снова в плоскости (xv х2) (вокруг оси х3).
Аналогично этому каждое преобразование из группв1 Лоренца можно
осуществитв с помощвю последователвного выполнения шести преобразований
специального вида: преобразования в плоско-
сти (Xl х2), не меняющего координат х3 и х4, и аналогичных преобразований
В ПЛОСКОСТЯХ (Xj, Х3), (Х2, Х3), (Xj, х0), (х2, х0), (х3, х0).
Рассмотрим эти преобразования более подробно.
190
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. и
Напишем преобразование в плоскости (xit х2):
*1=511*1+512*2-
Xl = g-21Xi+g22X2' xl - X,,
х"
2 2
Оно, очевидно, не меняет квадратичную форму Х\ -f- х2. С ледова -дельно,
это есть поворот в плоскости (х1, х2) на угол ср Матрица такого
преобразования имеет вид
СОЗ ^ sin ср 0 0 |
/ \ - sin W COS ср 0 0 1
Й12 (?) = 0 0 1 0
0 0 0 1
Аналогично, преобразования в плоскости (Xj, Хд)
шутся матрицами
COS ср 0 •sin ср 0
0 - 1 0 0
ёхз - - sin ср 0 COS ср 0 ¦
0 0 0 1
1 0 0 0
0 COS ср sin ср 0
ёгз - 0 Sin ср cos ср 0 "
0 0 0 1
где да - угол соответствующего поворота.
Преобразование в плоскости (хй, х0) не меняет двух первых координат и
квадратичную форму хЦ- Xq. Матрицу такого преобразования *) можно
записать аналогично предыдущим только через гиперболические функции
Йоз:
Аналогично выглядят матрицы g01 и g02.
Отметим, что матрицы g4fc(?) образуют подгруппу в группе Лоренца,
зависящую от одного параметра (так называемую однопараметрическую
подгруппу). Действительно, используя теоремы сложе-
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ch ср sh ср
0 0 sh ср ch ср
*) Преобразование в плоскости (х, у), не меняющее квадратичной формы хг -
у2 и направления осей, мы назвали гиперболическим поворотом.
П. 2] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 191
ния для круговых или гиперболических функций, легко получить, что
gik(?l)gik(?2}=giJc(?l+^2) (*¦ k = 0, 1, 2, 3).
2. Представление элементов собственной группы Лоренца в виде произведения
основных однопграметрических подгрупп.
Б § 1 части I было показано, что каждое вращение в трехмерном
пространстве может быть представлено в виде произведения трех вращений
g^=g\g9gs,'
где gQgQ-вращения вокруг оси z на угол 0t и 02 соответственно и -вращение
вокруг оси х ка угол о.
Аналогично этому каждый элемент группы Лоренца может быть представлен в
виде произведения
g = "lg03"2>
где их и я2 - вращения и g-03 - гиперболический поворот в плоскости х0х3.
Действительно, ''в п. 2 § 1 мы видели, что всякое собственное
преобразование Лоренца g имеет вид
g=4o А'
где и-вращение, g А- гиперболический поворот в плоскости (х0А),
проходящей через ось х0 и точку А - прообраз вершины О гиперболоида s2(x)
= --1 при преобразовании g. Очевидно, что гиперболический поворот goA
представляется в виде
So а ~ мод§оз У) иоА'
где и0_4-вращение, переводящее плоскость (х0, А) в плоскость (х0, х3).
Таким образом,
g = нио">оз (0 "ол = ДДоЗ (0 И2'
где
-1
- UlloA> - Uq а-Записав вращения их и и2 в виде произведения трех
поворотов
"1 = gi2 (0i) Д1з CfO gu (0a)
И
"2 = gl2 (60 g13 (?") gl2 (02 )>
мы для собственного преобразования Лоренца g окончательно получим:
g = g (0l) g(<?')g (02/ gos V) gl2 (X) gn (?") g 12 (°2 )• (1)
192
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Таким образом, любое собственное преобразование Лоренца раскладывается в
произведение поворотов из основных однопараметрических подгрупп g12, g13,
g03.
3, Определение инфинитэзимильных операторов. Пусть задано некоторое
представление собственной группы Лоренца g-+ Тд. Тогда операторы Tgi!{(f)
= являются функциями параметра ?. Возь-
мем какой-нибудь вектор / из R. При повороте gjk(z>) на угол а он
перейдет в вектор Tik(<D)f. Его приращение, следовательно, разно
ТШ/-/=[7'"(?) -?]/¦
f yi / \ ^ V А
Пусть для вектора / существуют пределы Urn ----------------- hik
ср О У
при всех парах (г, к) (г, k = Q, 1, 2, 3; i < k) *). Тем самым на таких
векторах/определены операторы Aih, Ви действующие по формуле
Лй/= Urn (г, й=1, 2, 3),
