ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
I
v' = v~bT•
Уравнения (8.60) и (8.61) можно объединить в матричной форме:
1
Vi+1
h+1
hT
-ь
Vi
L
(8.60)
(8.61)
(8.62)
где V есть напряжение на конденсаторе, а I — ток в контуре. Положим
ио
1
тэ2
(8.63)
тогда число ио является действительным, когда затухание в контуре ниже критического (слабо затухающий контур, см. приложение к настоящей главе). Произведя в уравнениях (8.47) и (8.48) для очень малых значений приращения времени г соответствующие замены, получим для очень малых г следующие уравнения:
V = е 2Ijt ( Vo ( cosuot + ^ sinuot
L
о
— sin uot . , Coo
(8.64a)
194
Глава VIII
I = е 2Ijt ( Vo -}— sin uot + Iq ( cos uot — —sin uot ,
Luo \ 2 Luo
(8.646)
, 1 R
где uo
LC 4L2'
Величина / = 2т:/ио называется резонансной частотой контура, Luo есть импеданс индуктивности L, а 1 /Сио — импеданс емкости С на частоте /. Отношение Luo/R обозначается буквой Q и называется добротностью контура. При высокой добротности и очень малом значении отношения R/L имеем
V = е 2Ijt ( Vo coscjt — Iq \ I^ sinuot I , (8.65a)
С
R
j — e 2L1 J yQ <2 sjn ^ /0 coscjtJ , где 00 = \j (8.65b)
Проведем небольшой физический эксперимент. Сначала переключатель К разомкнут. Ток I и напряжение V = Vc равны нулю. Переведем переключатель в левое положение, соединив тем самым конденсатор с батареей В. Конденсатор накапливает полный заряд, и напряжение на его контактах становится равным Vo. Переведем переключатель в правое положение, отметив момент времени t = 0, соответствующий V = Vo и /о = 0. Начиная с этого момента, напряжение V на конденсаторе и ток I, протекающий через контур, задаются уравнениями
__ т т, t IС •________________________________________ _____ . /1 к-
V = Voe 2L coscjt, / = Vbe 2L W — sinc^t, где cj =
b \l LC 4L2
(8.66)
Приложение: уравнения в конечных разностях
Рассмотрим уравнение в конечных разностях второго порядка
Xi+2 + a\Xi+i + 0,2X1 = 0,
где а\ и а2 — постоянные, причем а2 0. Для простоты его можно переписать следующим образом:
X" + а\Х' + а2Х = 0.
Приложение: уравнения в конечных разностях
195
Поиск решения вида Хп = тп приводит нас к характеристическому уравнению
т + а\т + <22 = О,
корни которого равны
т 1 =
- ftl + Y fll - 4(22
т2 =
— <21 — \/а\— 4(22
Из теории исчисления конечных разностей известно следующее:
1) Если а2 > 4(22, то корни действительны и различны и решение имеет вид
Xn = Cim? + С2т?.
Такая система называется системой с избыточным затуханием или с затуханием выше критического.
2) Если а2 = 4(22, то существует единственный действительный корень т и решение имеет вид
Хп = (С! + пС2)тп.
Перед нами система с критическим затуханием.
3) Если а\ < 4(22, то корни уравнения комплексны и различны. Положим д/4<22 — о>1 = Р и — ai = а; тогда корни равны т\ = а -\- i(3
и т2 = а — i/З, где г = Такая система называется слабо зату-
хающей или системой с затуханием ниже критического и ее решение имеет вид
Xk = Ark cos(k(p + 5), где г = д/а2 + /З2, ^ = arctg
г = ^ = /а2 + ДЗ
coscp
а
/3
где коэффициенты Аи В определяются начальными, или граничными, условиями. Рассмотрим матричное уравнение
(8.67)
-Х<+1 1 -6
1<+1 d с
Глава VIII
где b, с, d — положительные числа. Для простоты это уравнение можно переписать в виде
запишем
X' 1 -Ъ X
У' d с У
X' =х - 6У, то есть У
X" =Х' -bY'. Учитывая, что Y' = dX + cY, получаем
X -X'
X
п
X'-MdX + c-
J =Х'(1 + с) -X(bd + c),
откуда следует разностное уравнение второго порядка
X" - Х'(1 + с) + X(bd + с) = 0.
Этому уравнению соответствует вспомогательное, или характеристическое,, уравнение второго порядка
т2 — т( 1 + с) + (bd + с) = 0,
корни которого равны
гп
(1 + с) d= д/(1 — с)2 — 4Ы
Рассмотрим матричное уравнение
-Xi+i
Уг+1
1 —7 г
