ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
2/г
(8.36)
имеет решение
Уп
cos rap + b sin rap —c sin rap
a sin rap cos rap — b sin rap
Матрицу (8.34) можно записать следующим образом:
Хъ
Уо
(8.37)
Положив
COS ip
а ио ’
l + btgip -ctgip a tg ip 1 — b tg ip
(8.38)
b = —
LO ’
c=2
w’
(8.39)
где 7, A, p и cj — действительные положительные числа, получим из матрицы (8.34)
р2. (8.40)
ио
=
Если теперь ввести «элементарное приращение времени» г такое, что
tg <р =
иот
1 — рт ’
(8.41)
то можно записать
1 + b tg <? =
1
1 — рт ’
При этом матрица (8.38) принимает вид
COS (?
1 — b tg ip =
1 — 2 рт 1 — рт
(8.42)
1 — рт
1 —7г
Ат 1 — 2 рт
(8.43)
Затухающие колебания
185
из чего следует, что матричное уравнение
^г+1 1 ---7 г
2/г+1 Ат 1 --- 2рт 2/г
(8.44)
имеет решение
Хп
Уп
1 — рт cos ip
п
I р •
COS гыр + ^ sin шр А .
— sin гыр
cos mp
7 •
^ sin гыр p •
— sin гыр
Ж0
2/0
(8.45)
где
оо
VtA
p*
ip = arctg
1 — рт
К вышеприведенному утверждению следует добавить «и наоборот». Оба матричных уравнения, в сущности, эквивалентны: первое представляет собой итерационное уравнение, второе же — явную функцию от п.
Если учесть, что при малых значениях г справедливы равенства (1 —
— рт)п = е~рпт, cos ip = lnip = tgip = оот, то уравнение (8.45) принимает вид:
Хп = е~рпт
Уп
I Р •
cos оопт + — sinamT
ш
А •
— sin оопт
ш
7 .
— — sin оопт
ш
Р .
COS ООПТ — — sin оопт
(jj
хъ
Уо
Положив t = пт и обозначив буквами х, у без индексов непрерывные переменные ж, у как функции от непрерывного параметра t, получим следующие аналитические выражения:
х = е pt (cos out + ^ sino;^ — yo^j sin ,
(8.46a)
у = e-*
sin oot + 2/o ^coscjt — sino;^^ ,
где oo
= л/jX-
Уравнения (8.46) можно также записать в виде
(8.466)
х = е pt
рхо 72/о . ,i /q лгу \
xq cosoot Н---------—-------sincjr ] , (8.47а)
у = е pt ( т/о cos oot + sjn
00
(8.476)
186
Глава VIII
При очень малых р имеем
х = е pt
xq cos out + 2/о A / д nujt ) 5
у = e pt \ xq\I ^ sin uit + уо cos tot ) , где w= V7^-
(8.48)
На рис. VIII. 12a показаны кривые жир зависимости от времени t; хорошо виден колебательный и затухающий характер изменения переменных хну. На рис. VIII. 12Ь построен график величины у в зависимости от х. Полученную таким образом спираль называют фазовой картиной наблюдаемого феномена, а систему координат х — у, в которой строится фазовая картина, — фазовым пространством.
Рис. VIII. 12а. Кривые х и у в зависи- Рис. VIII. 12Ь. Фазовая картина в промости от ?. странстве х, у.
Математический маятник
Возможно, простейшим из известных человеку механических устройств является простой, или математический, маятник (рис. VIII. 13). Он состоит из малого плотного тела массы га, подвешенного на конце нити длины I. В идеале вся масса га сосредоточена в одной-единственной безразмерной
Затухающие колебания
187
Рис. VIII. 13. Математический маятник.
точке. Нить не имеет веса и не оказывает никакого сопротивления колебательному движению вокруг оси вращения О. Обозначим через О угловое
смещение нити относительно вертикальной прямой отсчета, а через О — ее угловую скорость в радианах в секунду. Предположим, что перемещение
массы т в воздухе встречает вязкостное сопротивление RW, пропорциональное линейной тангенциальной скорости 10, где R есть сила на единицу линейной скорости. Результирующая тангенциальная сила равна mg sin О —
— R10, где д — ускорение свободного падения. В данном рассуждении мы всегда предполагаем, что угловое смещение О очень мало, что позволяет нам положить sin 0 = 0. В этом случае угловое ускорение тела массы т определяется следующим выражением:
