ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
2 тдв-RW д Rh в~ ml ~Г~Шв’
а обозначив через г бесконечно малое приращение времени, можно записать
0i+l = 6i + 9iT = 9i + jT0i - щТвг =
(8.49)
= f T0i + ( 1 - Ш Ьг
Мы также имеем
0%-\-1 — Oi OiT,
(8.50)
188
Глава VIII
откуда следует матричное уравнение
1
$г+1
^г+1
—т
тп
вг
к
(8.51)
Маятник называется «слабо затухающим» (см. приложение к настоящей главе), если (g/l) > (R/2m), и мы можем записать
со
4?тг
Следовательно, решение уравнения (8.36) имеет вид:
. 2m
TD
cos cot + _ sin cot
ZmLO
9
— sin cot
L0
leu
sin cot
cos cot —
R
2rri(jj
sin cot
Oo
Oo
(8.52)
Полагая, что = О, т- e. масса m начинает движение из исходного углового положения, в0 радиан относительно вертикали, с нулевой начальной скоростью, имеем
R
в = вое 2m cos cot +
R
2 mco
sin cot ,
9
R
(8.53)
0 = 0o — e 2m sin cot.
ICO
При малом трении массы о воздух
со
9_
_JLf . [7 _JLf
в = вое 2т cos cot, в = 6о\1 ye 2т sin cot. (8.54)
С угловой скоростью со маятник колеблется относительно вертикальной оси в комплексной плоскости (эту скорость ни в коем случае не следует смешивать с физической угловой скоростью в). Период колебаний Т определяется выражением
(8.55)
С течением времени амплитуда колебаний уменьшается экспоненциально со скоростью exp (—Rt/2m).
Затухающие колебания
189
Смысл выражения (8.55) заключается в том, что при малом начальном угловом смещении (длина нити I велика) и не чрезмерно быстром затухании период колебаний маятника зависит исключительно от его длины (для определенного географического положения, поскольку ускорение свободного падения д в различных точках земного шара различно, хоть различие это и не слишком велико). Именно на этом принципе основано действие многих поколений маятниковых часов.
RLC-контур
В главе о лестницах мы рассматривали поведение электрической цепи лестничного типа при наличии внешнего источника энергии, которая во входном каскаде цепи преобразовывалась во входное напряжение v$. При использовании в цепи реактивных компонентов, т. е. индуктивности и емкости, можно предположить, что такое вынужденное напряжение является синусоидальным. Ниже, применив совершенно иной подход, мы рассмотрим переходное поведение электрической цепи, содержащей реактивные компоненты, в том случае, когда колебания в ней ничем не вынуждены, т. е. свободны.
Все компоненты и в данном случае являются пассивными, т. е. не содержат никаких внутренних источников электрической энергии. Они линейны, т. е. их индивидуальное поведение, проявляющееся в изменениях двух фундаментальных физических величин, силы тока и разности потенциалов, описывается линейными математическими выражениями. Линейность, в сущности, представляет собой упрощающее допущение, в рамках которого возможна суперпозиция токов, генерируемых различными источниками внутри того или иного компонента, без учета их взаимодействия. Еще одним следствием линейности является сохранение частоты. Когда через какой-либо линейный компонент проходит ток некоторой заданной частоты, никаких других частот сам компонент не генерирует.
Реальные физические компоненты являются приближенно-линейными только в очень ограниченном диапазоне значений, вследствие чего инженерам приходится прилагать множество специальных усилий, чтобы компоненты схем работали исключительно в пределах этого самого диапазона. Любая демонстрируемая компонентом нелинейность рассматривается при этом не иначе как краевое отклонение от номинального поведения. В последние годы, однако, мы оказались свидетелями впечатляющего свержения этой парадигмы, выразившегося в повсеместном переходе к систематическому изучению хаотического поведения, в основе которого лежит именно нелинейность. Родилась новая парадигма, приверженцы которой устремились на поиски хаотического поведения не только в электрических контурах, но и в других феноменах во всех известных человеку областях — от
190
Глава VIII
прогнозирования погоды (где, собственно, и зародилось это движение) до рынка ценных бумаг, фибрилляций сердечной мышцы, осциллирующих химических реакций, электрической активности мозга и т. д. Дело дошло до того, что в качестве отличительного знака нового течения и эмблемы его подчас фанатичных поборников был избран так называемый эффект бабочки. Впрочем, вернемся к нашим прозаическим линейным компонентам и попытаемся применить при исследовании их поведения (сначала индивидуального, а затем коллективного) конечно-разностный подход.
