ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Если поднести игрушечный перископ к глазу горизонтально, слегка отклонив перед этим дальнее зеркальце от его обычного угла в 90°, и попытаться идти вперед, все время глядя через перископ на какой-либо объект в комнате, то ваши друзья увидят любопытную картину: вы будете двигаться
по спирали вокруг этого объекта, постепенно приближаясь к нему. Как пи-
шет д’Арси Томпсон, некоторые насекомые, благодаря составной структуре
1 «Гармония мер» (лат.). — Прим. перев.
2Эти письма можно найти в книге Адама и Таннери «Труды Декарта» (Oeuvres de Descartes, Paris, 1898).
Моногномонная спираль
173
своих глаз, видят объекты как бы сбоку, вследствие чего, направляясь к какому-либо объекту, движутся по спирали.
Основываясь на свойстве равноугольно сти, Мартин Гарднер создал весьма остроумный инструмент для построения равноугольных спиралей, изображенный на рис. VIII.4. Предоставим слово самому изобретателю: «... угол [ф\ может быть какой угодно величины в интервале от 0° до 180°. Придерживая планку в соприкосновении с полюсом спирали и прочерчивая короткие прямые отрезки вдоль скошенной кромки планки, по мере необходимости придвигая эту кромку к полюсу или отдаляя от него, мы получаем в результате ряд коротких хорд спирали — примерно также плетет свою паутину паук Epeira.
Прибор же гарантирует, что все эти хорды пересекают радиус-вектор под одинаковым углом.»3
Представьте себе самолет, который взлетает в какой-либо точке земного шара и в полете пересекает меридианы под некоторым постоянным углом. Если этот угол равен 0°, то самолет будет вечно кружить вокруг Земли от полюса к полюсу по тому меридиану, с которого он стартовал. Если угол равен 90°, то самолет всегда будет лететь вдоль одной параллели.
Если же угол не равен ни 0°, ни 90°, то траектория самолета в конце концов завершится на каком-нибудь из полюсов, но только после бесконечного количества все сужающихся кругов вокруг этого самого полюса. И все же длина этой траектории, называемой локсодромой, конечна! Нельзя не поражаться присущему Морицу Эшеру чрезвычайно тонкому чувству самоподобия и бесконечности, что в очередной раз подтверждается рис. VIII.5, на котором изображена совокупность локсодром, интуитивно названных автором сферическими спиралями. Ширина полос и просветов между полосами одинаковы.
Рис. VIII.4. Построение равноугольной спирали. По книге Мартина Гарднера «Математические досуги» (Martin Gardner. The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions (New York: Simon and Schuster, 1969), p. 108).
3The Unexpected Hanging, p. 108.
174
Глава VIII
Рис. VIII.5. Локсодрома Эшера. (М. С. Escher, Sphere Spirals. © 1998 Cordon Art В. V.-Baarn-Holland. All rights reserved.)
Длина спирали
Гипотенуза ds малого треугольника на рис. VIII.3 представляет собой, в сущности, сегмент спирали:
ds = (roed'd)2 + (гоАеА^ d'd)2 = голА + Х2ех'д d'd.
Для того чтобы вычислить длину спирали между некоторой начальной точкой и полюсом, необходимо проинтегрировать сегмент ds от $ = 0 до — оо. Эта длина равна
— оо
5= J Wl + \2ех® М = (8.20)
о
Рис. VIII.6 иллюстрирует смысл этого уравнения, который заключается в том, что длина спирали от точки Т, соответствующей радиусу го, до полюса
Моногномонная спираль
175
Рис. VIII.6. Спрямление логарифмической спирали.
равна длине отрезка TQ прямой, касательной к спирали в точке Т. Это свойство известно под названием спрямление логарифмической спирали. Поскольку угол чр между радиусом и касательной равен ctg-1 А, имеем
S=-^—. (8.21)
cos ip
Как это ни удивительно, но логарифмическая спираль обладает конечной длиной, несмотря на бесконечный характер процесса построения этой самой спирали от точки с некоторым произвольным радиусом до полюса, где радиус равен нулю. Этот факт был обнаружен в 1645 году Эванджелистой Торричелли, который более известен нам как изобретатель барометра4. Упомянутый парадокс схож с парадоксом об Ахилле и черепахе тем, что в обоих
4 Торричелли был учеником Галилея, который в своем труде «Discorsi et dimostrazioni mathematiche intorno, a due nove scienze» (1638) высказывался в том смысле, что человек, не смущаясь утверждениями Аристотеля относительно Природы, не терпящей пустоты, может собственноручно творить пустоту в лабораторных условиях.
176
Глава VIII
случаях бесконечное количество геометрически уменьшающихся расстояний дает в сумме величину конечную. История об Ахилле и черепахе — один из четырех парадоксов Зенона Элейского, ученика Парменида, жившего в V веке до н.э., — известна, наверное, каждому школьнику. Ахилл, который бегает в два раза быстрее черепахи, вызывает ее на состязание в беге и дает ей фору, допустим, в 10 метров. К тому моменту, когда быстроногий Ахилл пробегает эту начальную дистанцию, медленная, но упорная черепаха уползает на пять метров вперед. Ахилл пробегает эти пять метров, но черепаха успевает уползти еще на 2,5 метра. Ахилл пробегает и их, но черепаха опять впереди. Так они могут бежать целую вечность, однако черепаха всегда опережает Ахилла на половину некоторого только что покрытого им расстояния, и Ахилл никак не может догнать черепаху.
