ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Ат 1 — 2рт
К
(8.68)
где 7, А, р и т — действительные положительные числа; число г мы будем называть элементарным приращением времени. Произведя соответствующие подстановки, получим следующие корни характеристического уравнения:
гп
(1 - рт) ± VР2 - 7^Т.
Затухание в системе
выше критического, если р2 > 7А, критическое, если р2 = 7А, ниже критического, если р2 < 7А.
Приложение: уравнения в конечных разностях
197
Мы рассмотрим лишь последний случай, поскольку он имеет непосред-
ственное отношение к изучению спиралей. Положим ио = у 7X — р2 (величину со называют угловой скоростью в комплексной плоскости, или угловой частотощ это всего лишь математическая абстракция, и не следует путать ее с физической угловой скоростью вращающегося тела); тогда
т = (1 — рт) d= iuor,
^ = arctg_^_
Хп = Атп cos (гыр + В), Yn = Crn cos (гыр + D).
Сначала разберемся с Хп. Имеем
/1 \п
Хп = А ( CQg j (cos пер cos 5 — sin гыр sin 5);
отсюда
1 - рт (Хо - *о .
I ^-cos^-----------J-----вш<Р
= (! - Рт)(Х0 - \jA2 — X^tg<p).
Приняв во внимание, что X\ = Xq — 7т Yq, можно записать
X0 - 7тГ0 = XQ- ртХо - (1 -рт) ^42-Х02 tg у, Гаъ v2 _ 7^о - рХо _ 7I0 - рХо
сот 0 pYo-XX 0
*3.
1
?
/Лв ... СО СО
1 - рт
в результате получаем
Хо
О
X.
п
1 — рт
COS (?
п
7У0 — рХо .
Ао cos гыр-------------—-------sin гыр
Глава VIII
или
п
Хп = i cosy" ) (^° (cosntP + ZJ sinrup'j - lo^ siring
Аналогичное рассуждение дает для Yn следующее уравнение:
Глава IX
Позиционные системы счисления
Denaria епит ex institute hominum, non ex necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita est.
Десятичная система счисления была создана в соответствии с человеческими обычаями (что само по себе не совсем умно), а вовсе не повинуясь естественной необходимости, как думают многие.
(Блез Паскаль, De Numerus multiplicibus)
Эта глава представляет собой введение в изучение позиционного представления чисел. Кроме того, ее можно рассматривать как необходимую преамбулу к следующей главе, в которой речь пойдет о фракталах. Начнем мы с анализа алгоритма деления, на котором основывается всякая позиционная система счисления. После краткого предварительного обзора кодов и их алгебраических представлений вводится понятие смешанных систем счисления.
Деление
Даны два произвольных числа 24, 5 и 7, 2, называемые, соответственно, делимое и делитель. Запишем
24.5 = 1 х 7,2 + 17,3,
24.5 = 2x7,2 + 10,1,
24.5 = 3 х 7,2+ 2,9,
24, 5 < 4 х 7, 2.
Поскольку число 3 является наибольшим неотрицательным целым число, произведение которого на 7, 2 не превосходит 24, 5, оно называется частным. Число 2, 9 является остатком и по определению не превышает делителя. Вышеприведенный процесс, приводящий к определению частного и остатка, называют алгоритмом деления.
200
Глава IX
В общем виде при заданных неотрицательном делимом D и положительном делителе d алгоритм деления дает следующий результат:
Можно легко показать, что паре чисел (D, d) соответствует одна и только одна пара неотрицательных чисел, удовлетворяющих равенству (9.1): частное q и остаток р.
Пусть дано некоторое целое число т > 1. Мы говорим, что целочисленная переменная 5 принадлежит диапазону т, если она может принимать исключительно целочисленные значения 0, 1, 2, ..., т — 1. Записывается это так:
Обозначим через 5о, 7 целочисленные переменные, принадлежащие, со-
ответственно, диапазонам mo, mi, momi, т. е.
ООо ^ то — OOi < — 1, 0^7^ m0mi — 1. (9.3)
Переменные ?о и 5i независимы, т. е. каждая из них может принимать внутри своего диапазона любое значение независимо от значения, присвоенного
другой переменной.
Если диапазоны то и mi некоторым общепринятым образом упорядочены (mo, mi), то любая упорядоченная пара значений (5q, 5i), присвоенная переменным ?о и 5i в пределах их диапазонов, называется конфигурацией. Существует, очевидно, то х т\ различных конфигураций. Например, при то = 3 и mi = 2 имеем 0 ^ ^ 2, 0 ^ ^ 1 и 0 ^ 7 ^ 5.
Можно произвольно определить однозначное соответствие, или отображение, между конфигурациями (5q, 5i), количество которых равно momi,
и значениями, присвоенными переменной 7, количество которых также равно momi. Каждое такое отображение называют кодом. В рамках данного кода любая конкретная конфигурация (5q, ^1) является представлением соответствующего значения 7.
