ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
позволяя вычислять каждую цифру отдельно, d’emblee1 — настолько, разумеется, насколько вычисление целой части числа можно рассматривать как результат его выражения в истинно явном виде, не требующем итераций, несмотря на алгоритмическую сущность самого процесса деления.
1 Сразу (фр.)- — Прим. перев.
Глава X Фракталы
Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности», — исследовать, так сказать, морфологию «аморфного».
(Бенуа Мандельброт)1
С момента выхода в свет эпохального труда Мандельброта появилось огромное количество всевозможной литературы о фракталах и их проявлениях чуть ли не в каждой области человеческой деятельности — от так называемых точных наук до наук более гуманитарной направленности. Фракталы наблюдаются повсюду и вызывают нешуточное возбуждение как среди серьезных ученых, так и среди дилетантов. В мои намерения не входит написание очередного курса по фракталам. В равной мере не намерен я обсуждать все аспекты теории фракталов — такие, например, как фрактальная размерность или множество Мандельброта. Напротив, я склонен полагать, что представленный в данной главе подход несколько необычен, поскольку в основе его лежат теоретико-числовые соображения. Причем нам удалось построить некоторые классические фракталы и обнаружить несколько новых фрактальных форм.
Отступая от традиционной практики, которая заключается в нумерации строк матриц от 1 до ш, а столбцов от 1 до га', мы будем нумеровать их, соответственно, от 0 до га — 1 и от 0 до га/ — 1, как показано на рис. Х.1. Это простое, но существенное изменение даст нам право совершать арифметические операции над индексами строк и столбцов и оправдает осуществленное таким образом переопределение кронекерова произведения матриц в отношении других арифметических операций2. Аналогичным образом, в смысле осуществления арифметических операций над индексами
1 The Fractal Geometry of Nature (New York: W. H. Freeman, 1981), p. 1.
2Когда я был еще юным студентом, меня всегда приводил в недоумение тот факт, что верхний левый элемент матрицы непременно обозначается Ахд, а не Ао,о- Ведь, в конце концов, думал я, первым целым (пусть и не первым натуральным) числом является ноль, а вовсе не единица!
210
Глава X
их элементов, можно определить и произведения решеток более высоких размерностей.
М0,0
Mi,о
Рис. Х.1. Матрица М.
Мод
М1Д
-Мо ?77т/
М1>т/.
1
1
-Мт_ 1 777,' — !
Кронекерово произведение
Рассмотрим матрицу М, состоящую из га строк и га/ столбцов (рис. Х.1).
Мы пишем
М = где 0 ^ р ^ га — 1, 0 ^ ^ га/ — 1, (10.1)
подразумевая, что Мм?/1/ — это элемент, расположенный на пересечении строки р и ряда р'. Элемент Мо?о называется начальным элементом матрицы. Рассмотрим г х г' матрицу R:
Л = [Др5р/], где 0 ^ р ^ г — 1, 0 ^ ^ г' — 1. (10.2)
Кронекерово произведение G = М ® R определяется как матрица G = = [С7,у], где
Gin> = Мй>й/ х Rp,p>, при 7 = ^ + mp, 7' = /и' + т'р’. (10.3)
Из главы IX нам известно, что любой паре целых чисел (р, р) соответствует одно и только одно значение целочисленной переменной 7 = р + гар, и наоборот (га, г — натуральные числа 1, 2, 3,...), и что
0 ^ р ^ га — 1, 0 ^ р ^ г - 1, 0^7^ тг — 1.
Любой паре элементов (Мм?м/, Rp^p>), таким образом, соответствует один и только один элемент G7?y = ц'+т'р' ¦> и наоборот. Значит, матрица G
состоит из тг строк и raV столбцов, и мы можем записать
Gj^jf (А/ 0 -R)-\-т'р') -Мд?д/ X Rp p/. (10.4)
Кронекерово произведение 211
Пример. На рис. Х.2а представлены 5x2 матрица М и 3 х 4 матрица R. На рис. Х.2Ь построена 15x8 матрица G = М 0 R. В вертикальной таблице слева даны значения 7 от 0 до 14 и их цифры по основанию (3, 5.), т.е. О ^ /i ^ 4 и О < р < 4. Аналогично, в таблице вверху рисунка даны значения 7' от 0 до 7 и их цифры по основанию (4, 2.), т. е. О ^ // ^ 1 и СК р' < 3.
0 1 0 0 1 2 3
1 2 -3
2 1 4 0 “ 2 1 3 -1
, з 2 -1 Р 1 -1 3 2 4
4 _ 3 2 _ ' 2 _ 1 0 0 2
М R
Рис. Х.2а. Матрицы М и R.
у’ 0 1 2 3 4 5 6 7
Р' 0 0 1 1 2 2 3 3
м' 0 1 0 1 0 1 0 1
7 Р м
0 0 0 “ 2 0 1 0 3 0 -1 0
1 0 1 4 -6 2 -3 6 -9 -2 3
2 0 2 2 8 1 4 3 12 -1 -4
3 0 3 4 -2 2 -1 6 -3 -2 1
4 0 4 6 4 3 2 9 6 -3 -2
5 1 0 -1 0 3 0 2 0 4 0
6 1 1 -2 3 6 -9 4 -6 8 -12
