ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
р
\
\
\ 3 / \ 2
~з“) +(|)
23 ¦ 1 з
108 2
23
г
(7.13)
108 2
^/0,461479103 + 0, 5 — ^0,461479103 - 0, 5 ^
0,986991206 + 0,337726751 «
1,324717957,
что с точностью до десяти значащих цифр совпадает со значением, вычисленным последовательными итерациями выражения
1 + \/1 + \ 1 +... \/1 +
р-
(7.14)
Заметки на полях
159
Рис. VII. 11. Джироламо Кардано.
160
Глава VII
Как отмечает Карл Б. Бойер6, 1545 год ознаменовал начало современной эпохи в математике. До публикации «Ars Magna» в течение одного недол-гого года наиболее полной книгой по алгебре была «Arithmetica Integra»7 Михаэля Штифеля, изданная в 1544 году, сменив такие трактаты, как «Coss» Кристоффа Рудоффа (1525) и «Rechnung»8 Петера Апиана (1527). Штифель, Рудофф и Апиан являются наиболее выдающимися из математиков немецкой школы, которая в ту эпоху была особенно плодовита. Следует также отметить, что в 1543 году Николай Коперник опубликовал «De revolutionibus orbium coelestum»9, а Андреас Везалий — «De Humani Corporis Fabrica»10.
Хотя Кардано и признал, что автором решения кубического уравнения является не он, а его соотечественник Никколо Фонтана (1500-1557), все же вышло так, что он лишил первооткрывателя заслуженных лавров. Как оказалось, Кардано, узнав об открытии Фонтаны, обещал тому, что он воздержится от его обнародования, поскольку Фонтана как раз готовил к изданию собственный трактат по алгебре, изюминкой которого и призвано было стать решение кубического уравнения. Это недоразумение является, однако, лишь одним из эпизодов истинной комедии дель арте XVI века, главными действующими лицами которой выступали Кардано и Фонтана по прозвищу Тарталья, т. е. Заика. Дефектом речи злополучный Тарталья обзавелся вследствие сабельного удара, полученного в 1512 году при захвате французами города Брешиа. Помимо прочего, Тарталья обладал скверной привычкой приписывать себе открытия и достижения других. У некоего Мербеке он украл и выдал за собственный перевод сочинений Архимеда; кроме того, есть основания полагать, что не является его заслугой и закон наклонной плоскости, открытый Иорданием Неморарием. Не менее вероятно и то, что решением кубического уравнения Тарталья обязан некоему профессору математики в Болонском университете — весьма уважаемом, надо сказать, учебном заведении — по имени Сципионе дель Ферро, который поделился тайной со своим студентом Фьоре (Флоридусом, если на латыни). После математического состязания между Фьоре и Тартальей, которое последний, конечно же, без труда выиграл, Тарталья был приглашен в дом Кардано на обед, куда он не преминул отправиться, привлеченный перспективой быть представленным патрону, в поддержке которого Тарталья отчаянно нуждался. Кардано в «Ars Magna» приводит также решение уравнения четвертой степени, которое, по его словам, нашел «по его просьбе» Луиджи Феррари. Врач по образованию, уроженец Павии Джироламо
6Саг1 В. Boyer and Uta С. Merzbach. A History of Mathematics (New York: John Wiley & Sons, 1989), p. 282.
7«Полная арифметика» (лат.). — Прим. перев.
8«Счет» (нем.). — Прим. перев.
9«О вращении небесных тел» (лат.). — Прим. перев.
10«О строении человеческого тела» (лат.). — Прим. перев.
Заметки на полях
161
Кардано прожил жизнь игрока и авантюриста. Занявшись астрологией, он однажды составил гороскоп самого Иисуса Христа. Кардано был еретиком и незаконнорожденным и все же сумел добиться от Папы пенсии. Сага о деяниях членов его семьи могла бы заполнить объемистый том: один из сыновей — мошенник, другой — убийца собственной жены. Несмотря на все это, Джироламо Кардано, верный последователь Аль-Хаваризми, остается наиболее выдающимся алгебраистом своего времени.
Повторные корни
На настоящий момент мы познакомились с двумя типами итерационных форм, способных порождать числа: позиционную систему счисления и представление в виде непрерывной дроби. Кроме того, на этих страницах нам встречались примеры еще одной итерационной формы, состоящей из так называемых повторных корней, а именно:
1 + \/1 + л/1 + л/ГТТТТ —> ф (7.15)
и
1 Н- у!-!- л/ГТТТТ —> р. (7.16)
Эти выражения можно рассматривать как частные случаи одной общей формы
b a ]Jb + а уjb + a . (7-17)
Допустив, что вышеприведенное выражение сходится к некоторому значению х, можно записать
х= b a ]Jb + а ^jb + a . (7-18)
Суть метафоры, известной под названием «гильбертов отель», заключается в следующем: будучи владельцем отеля с бесконечным числом номеров, все из которых в настоящий момент заняты, вы всегда сможете поселить нового постояльца, просто попросив жильца 1-го номера переехать во 2-й, жильца 2-го — в 3-й и т. д., при этом вы можете быть совершенно уверены, что мест хватит всем. В данном случае мы вполне можем прибегнуть к
