ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
На рис. VII. 1а изображен правосторонний завиток равносторонних треугольников, начинающийся с затравки, составленной из трех одинаковых
150
Глава VII
8 5
1 1
2 3
Рис. VII.la. Треугольный зави- Рис. VII.lb. Прямоугольный завиток Фибо-
ток Падована. наччи.
треугольников с длиной стороны 1. Длины сторон последующих треугольников равны 2, 2, 3, 4, 5, .... Длина стороны треугольника г + 1 равна сумме длин сторон треугольников i и i + 1. Таким образом, треугольники следуют один за другим в соответствии с числовым рядом Падована, начиная с Р4. Для сравнения на рис. VII.lb показан левосторонний прямоугольный завиток Фибоначчи, в котором читатель без труда найдет последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... В статье «Истории о невостребованном числе» Иэн Стюарт, которому я очень признателен за предоставленную возможность познакомиться с числами Падована, вписывает внутрь завитка Падована спираль, признавая при этом, что эта спираль лишь приближается к истинной логарифмической спирали. Ниже мы — следуя принципам, аналогичным тем, что применял Стюарт при построении приведенной на рис. VII. 1а фигуры, хотя и отличным от них — построим несколько иной завиток, вокруг которого описывается самая что ни на есть настоящая логарифмическая спираль.
Серебряный пятиугольник
Рассмотрим изображенный на рис. VII.2а усеченный параллелограмм ABCDE, который мы будем называть серебряным пятиугольником. Длины сторон АВ, ВС, CD, DE, ЕА равны, соответственно, 1, р, р2, р3, р4. Угол AED равен 60°. Продолжив стороны АВ и CD до их пересечения в точке Q, мы можем видеть, что DE = АВ + В Q, т. е. р3 = р + 1, и АЕ = = QC + CD, т. е. р4 = р2 + р. Таким образом, учитывая выбранные при
Серебряная спираль 151
2
С Р D
ттл п ^ - Рис. VII.2b. Гномон серебряного
Рис. VII.2а. Серебряный пятиугольник.
пятиугольника.
построении усеченного параллелограмма длины сторон, следует признать, что данная конструкция имеет полное право на существование. Если теперь добавить к ней равносторонний треугольник AEF, как показано на рис. VII.2Ь, то мы получим усеченный параллелограмм BCDEF, длины сторон которого ВС, CD, DE, EF, FB, соответственно, равны р, р2, р3, р4, р5. Иными словами, серебряный пятиугольник, длины сторон которого равны длинам соответствующих сторон пятиугольника ABCDE, умноженным на р. Равносторонний треугольник AEF является, таким образом, гномоном серебряного пятиугольника. На рис. VII.3 дана последовательность фигур, в которой добавление равностороннего треугольника к любому из серебряных пятиугольников дает новый серебряный пятиугольник с увеличенными в р раз длинами сторон.
Серебряная спираль
На рис. VII.4a изображен правосторонний завиток вокруг полюса О, начинающийся с затравки ABCDE. Отметим, что диагонали AD, BE, CF пересекаются в полюсе О. Завиток, таким образом, имеет правильную затравку, а его спиральная огибающая является логарифмической. При каждом повороте на 60° ее радиус увеличивается в р раз. Ее уравнение в полярных координатах имеет вид г = гоеА^ с коэффициентом расширения,
152
Глава VII
Рис. VII.3. Завиток из серебряных пятиугольников.
Серебряная спираль 153
Рис. VII.4Ь. Золотая прямоугольная спираль.
равным
л 31п(1,324718)
Л =---------------- = 0, 8834145. (7.10)
Для сравнения на рис. VII.4b показан левосторонний золотой прямоугольный завиток. Радиус логарифмической спирали, описанной вокруг него, увеличивается в ф раз при каждом повороте на 90°. Коэффициент расширения такой спирали равен
Л 21п(1, 618034)
Л =-----= 0, 30635. (7.11)
Если сравнить рисунки VII. 1а и VII.4a, можно заметить, что хотя пятиугольники ABCDE и A'B'C'D'E' похожи, они все же не подобны. Добавление к A'B'C'D'E' равностороннего треугольника A'E'F' дает пятиугольник B'C'D'E'F', не подобный A'B'C'D'E'. То есть равносторонний треугольник не является гномоном такого пятиугольника. При дальнейшем построении завитка к усеченным пятиугольникам рис. VII. 1а добавляются все новые и новые равносторонние треугольники, и пятиугольники все сильнее приближаются к серебряному пятиугольнику, так как при достаточно большом г отношение Pi/Pi-1 стремится к р. Аналогично, если сравнить
154
Глава VII
С
D
В
Рис. VII.5. Треугольная улитка (начальные этапы построения).
фигуры на рис. VII.lb и VII.lb, то обнаружится, что только вторая из них имеет правильную затравку и что только вокруг нее можно описать логарифмическую спираль.
Улитка
Геометрическая фигура, представленная на рис. VII.5, получена последовательным добавлением друг к другу равносторонних треугольников, при этом длина стороны каждого последующего треугольника выбиралась в два раза меньшей, чем у предшествующего треугольника. Продолжив процесс до бесконечности — и только в этом случае, — мы получим в результате фигуру, которую можно назвать треугольной улиткой, благодаря ее сходству с одноименным моллюском, обитающим в спиральной раковине, откуда его весьма непросто извлечь. На рис. VII.6 показано, как при добавлении к улитке равностороннего треугольника получается новая улитка, каждая сторона которой в два раза длиннее соответствующих сторон исходной улитки. Не будь процесс построения фигуры на рис. VII.5 бесконечным, фигура, получаемая добавлением равностороннего треугольника к усеченной улитке, не была бы геометрически подобна несчастному изувеченному моллюску. Каждое добавление равностороннего треугольника давало бы новую фигуру, не подобную ни одной из своих предшественниц.
