Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
некоторых достаточно общих условиях решение всегда существует и, согласно
теории Флоке - Ляпунова, имеет вполне определенный вид.
Для общих нелинейных систем интегрируемость можно понимать только как
существование и единственность решения. Однако связь с идеей разделимости
можно установить "гамильтониза-цией" системы в котангенциальном
пространстве, о чем подробно будет рассказано ниже.
Большинство результатов, касающихся неинтегрируемости, основано на
исследовании существования интегралов в окрестности особой точки (см.
[96]), на приводимости к нормальной форме Биркгофа с помощью степенных
рядов или на сходимости итеративных процедур. Не очевидно, что отрицание
вышеперечисленных утверждений подразумевает неинтегрируемость. Биркгофом
было доказано, что в общем случае'' нормальная форма для гамильтоновых
систем не может быть получена с помощью сходящихся рядов. Хотя методы
усреднения, по существу, являются переведенной на некоторый другой язык
нормализацией Биркго-
2. СХОДИМОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО МЕТОДА ИТЕРАЦИЯ
55
фа, мы, тем не менее, не можем сделать вывода об их расходимости, так как
известно, что операции с рядами могут изменить свойство сходимости или
расходимости метода. В самом деле, как будет показано на примерах, метод
усреднения эквивалентен нормализации, и, следовательно, в общем случае мы
вправе ожидать его расходимости. С другой стороны, методы усреднения
можно так обобщить, переопределить, дополнить и подчинить возмущения
таким условиям, что эти методы будут сходиться по крайней мере для
некоторого набора начальных условий.
Как было показано для некоторых специальных примеров, дополнительные
интегралы, определяемые формальными рядами (см. [24]), имеют почти тот же
смысл, что и истинные интегралы движения, и это было проверено численно
для очень больших интервалов времени. Метод поверхностей сечения (см.
[91]) оказал неоценимую помощь при поисках возможных интегралов, и было
показано, что интегралы (не обязательно общие или допускаемые глобально)
могут существовать и для систем, определяемых вначале как неинтегрируемые
(см. [9]).
2. Сходимость классического метода итераций
Если соответствующим образом подобрать значения границ временного
интервала, то можно показать, что при достаточно общих условиях
простейший метод последовательных преближе-аий решения рядами является
сходящимся. В действительности известен следующий результат (см. [71]).
Рассмотрим сначала систему п уравнений относительно х\, ... ..., хп,
зависящую от параметра е:
Ft(x, е) = 0 (i = 1, ..., п), (2.2.1)
где х - набор переменных х\, ________ хп. Далее предположим, что
а) F,(0, 0) = 0 (i= 1, ..., п);
б) J = det ""Fn\ ?= 0 при х = 0, 8 = 0.
3F
в) -rjf- ф 0 для всех i при х = 0.
Отсюда следует, что функции F, можно разложить в степенные ряды по х и е
вблизи точки х - 0,е = 0. Тогда, как легко доказать, при условии
аналитичности функций jP, по всем аргументам в некоторой области
переменных х. 8 ряды
СО
Xj = 2 e!aJS, (2.2.2)
S -1
56
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
полученные методом последовательных приближений, равномерно сходятся по
е. Величины ais получаются подстановкой выражений для х, в разложения
функций Ft и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях г.
Доказательство этого утверждения можно провести, взяв за основу любую
стандартную книгу по математическому анализу (см., например, [45]). Для
дальнейшего рассмотрим подробнее некоторые детали. Разложение функций Ft
(а?, е) имеет вид
(dF.\
^¦'>-(т5г)"е + | (тфл
+ 4-22
j=0 k-0 j ft -0
Для стандартизации записей введем обозначение xq = е. Тогда приведенное
разложение можно записать так:
6F.
х,
- дх I xj = ь(°1)х° + 2 b^xixk + 2 bmxixkxi j=l \ j ' о ft,j=0
l,k,3=о
(2.2.3)
При подстановке рядов (2.2.2) в ряды (2.2.3) сравнение коэффит циентов
при одинаковых степенях е (или жо) дает
2(ж:1вД = Ь(о1), (2.2.4)
j=1 \ J 1и
dFs \
П 71
2[sr. j ап = 22 ь*апат-
j=l \ J / о 0 /г=0
2 ( дх. )п а}Р~ ars) (2.2.5)
5=1 \ 1 1 о ""
(г, 5=1, ... п).
Следовательно, на (каи;дом шаге коэффициенты аур вычисляются по данной
системе п уравнений, правые части которых известны, если найдены все
предыдущие приближения ац, ..., а]Р. Определитель этой системы не равен
нулю по предположению б). С формальной точки зрения уравнения (2.2.4)
полностью аналогичны набору линейных неоднородных уравнений в частных
производных, которые встречаются в методе усреднения Линдстед-
2. СХОДИМОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ
5Ч
та - Пуанкаре, а также при асимптотическом решении с помощью рядов Ли.
Теперь рассмотрим случай / = 0 и предположим, что по крайней мере один из
первых миноров этого определителя не равен нулю. Далее положим, например,
dFi/dxi = 0. Тогда (п-1)-е уравнение (2.2.1) может быть решено
относительно х%, ..., хп в виде степенных рядов по xq и х\. Если
результат подставить
ч п-е уравнение (2.2.1), то получится уравнение относительно хо и х\.
Так как коэффициент при первой степени х\ будет равен нулю, то решение
