Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Видно, что в рассматриваемом частном случае секулярные ¦члены появились в
(2.3.6), т. е. уже в первом приближении (в действительности эти члены
чаще называют смешанными се-кулярными членами). Ясно, что появление t вне
тригонометрических функций крайне затрудняет получение случая сходимости
описанного выше процесса при оо. Постоянными интегрирования В и Р никак
нельзя распорядиться для уничтожения секу-лярных членов.
Способ, предложенный Линдстедтом [70], заключается в том, что в опорном
решении, т. е. в xq (t), изменяется частота. Действительно, рассмотрим
выражение
x0(t) - A sin(<Mi + a), (2.3.7)
где мы положим
0)^ = COq -j- €C0j 6^<л>2 "...
64
ГЛ. И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЯ
или, как и раньше, считая со о = 1. имеем
со2 = 1 + ео)1 + е2<й2 + • • •, (2.3.8)
где со), <м2, • ••>- постоянные (зависящие от А, а), которые
надо
выбрать соответствующим образом. Переписывая уравнение (2.3.2) в виде
•• " v *2n+1
х + <л2х - ш^х - е2со2ж - ... = - ? (- 1)" е" - Ш'
n=1 ~П
и используя решение нулевого порядка
хо(t) = A sin(co? -г а).
где частота со определяется формулой (2.3.8) и заранее неизвестна.
аналогично предыдущему случаю мы получим такие уравнения:
•• 1 3
-Г + "gj- хи-
• • 1 ° 1 '>
^2 "Ь (r)2^2 = ~Г "I- 2Г _ '
Правые части последних уравнений, очевидно, являются нечетными функциями
о>? + а, т. е. набором синусов величины Ш + а. В уравнениях для
соответствующие неизвестные приближения сор надо определить так, чтобы
отсутствовали секулярные (или в этом случае смешанные секулярные) члены.
Уравнение для членов первого порядка имеет вид
" 1
Sx -J- (о2^ =. (оtA sin (at -f- a) +- -g--4s sin (tot T a) -
-sr &'n
так что, если положить
1 л-
ffll = _ _Л-,
то вынуждающий резонансный член уничтожается, и решение принимает вид
- В sin (со? "Ь Р) ~f" -'43 sin (3of - Зсс),
где 5, р можно определить следующим образом:
3. СЕКУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ. СПОСОБ ЛИНДСТЕДТА 65
т. е. |i -= Ь = 0 при t = 0. Легко видеть, что уравнение, которое надо
проинтегрировать для нахождения приближения любого порядка, имеет вид
Sр + со%Р = сорх0 -f Ai (Л. toj, ..., ojp.i) sin (соt + а) +
rip
+ 2 Mj+I (-4, ..., ojp-i) sin [(2/ + 1) (соt + ос)],
з=i
н его решение таково:
С0р = (^' ' * * ' l)"
пп
АР
Ь = 2 юМ1-т'+ТЙ >п|(2' + '>+ ")!•
i=l
Отсюда следует, что частота со определяется последовательно шаг за шагом,
а все решение выражается в виде периодической функции t, т. е.
оо пр
х = х0 (t) + ^ еР2 + iW sint(27 + 1) И + "*)]-
р=1 j-i
В этом частном случае из-за того, что исходное уравнение можно точно
проинтегрировать, сходимость вышеописанной процедуры можно доказать
непосредственно, если только начальные условия соответствуют
колебательному движению. Вышеприведенные ряды расходятся в случае
вращательного движения. Насколько нам известно, случай асимптотического
движения маятника не может быть вообще рассмотрен с помощью рядов. В
случае вращательного движения также можно получить сходимость, если по-
другому ввести переменную. Действительно, в этом случае угол 0 непрерывно
увеличивается со временем, если исключить незначительные флуктуации.
Такое увеличение со временем можно учесть, если считать
0 = at + V еж,
где
а = ао + e"i + е2аг + . •.,
х = xo(t) + e|i + е2|г + • • х0 = A sin (соt + Р),
СО2 = COq -|- ?(0j -|- в2С02 "I" • " •
5 Г Е. О Джакалья
66
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
При изучении аналога метода Линдстедта для канонических систем мы укажем
способ, которым можно рассмотреть единым образом сразу оба случая
(колебания и вращения). Это возможно сделать введением эллиптических
функций с модулем, принимающим любые значения. Тогда асимптотический
случай движения маятника будет фигурировать в качестве предельного случая
общего решения. Возможность такого глобального рассмотрения детально
изучалась в работе Гарфинкеля и др. [29.5].
Метод последовательного подбора частот системы, который был изложен в
примере предыдущего параграфа, применим к любой системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, которая может быть записана в нормальной
форме и удовлетворяет некоторым условиям регулярности, по крайней мере
локально. Однако желательно, чтобы такая регулярность распространялась на
некоторую область. В этом случае мы можем считать, что система имеет вид
При помощи перехода в котангенциальное пространство Дирака система
(2.4.1) может быть приведена к каноническому виду, если определить вектор
канонически сопряженных обобщенных импульсов у {Vi', i = 1, ..., п) и
гамильтониан
4. Метод Пуанкаре (метод Линдстедта)
= fi(x, t, е) (i = 1, ..., п)
или в векторной форме -
ж = / (ж, t, е).
(*2.4.1)
(2.4.2)
и предположим, что система уравнений
интегрируема в некоторой области D 2и-мерного фазового пространства (|,
т]) при 0 < t < Т. Предположим, что функции / (х, t, е) принадлежат по
крайней мере классу С2 в D, непре-
4. МЕТОД ПУАНКАРЕ
67
рывны по t прп (е [О, Г] и аналитичны по е при 0 *? е *? 1. Этими же
свойствами, следовательно, обладает функция Н.
