Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
z = exp (zLs) g,
находим, что его можно применить и при доказательстве в случае Хори.
7. Обобщенные преобразования на основе рядов Ли
Рассмотрим тг-мерное векторное пространство и неособенное вещественное
аналитическое преобразование точки х в точку у этого пространства,
определяемое формулами
оо
ЛП рт
у = х + 2i ут (х), (1.7.1)
771=1
где^т - п-мерные векторы, а е - параметр, не зависящий от При е = 0
преобразование (1.7.1) будет тождественным, а при достаточно малых е и
при условии сходимости рядов (1.7.1) это
7. ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ЛИ
43
преобразование будет близко к тождественному. Однако мы будем считать
выражения вида (1.7.1) лишь формальными рядами и применять к ним все
правила операций со сходящимися рядами (см., например, [И]).
Одной из целей всех последующих выкладок является создание простого
алгоритма преобразования произвольной векторной функции F (у, г) после
применения преобразования фазовых переменных по формулам (1.7.1).
Результат мы хотим получить в виде степенного ряда по е, т. е. хотим
найти коэффициенты в разложении
F (У (^,e),e) = 2-|rFn И-
(1.7.2)-
п-О
Ясно, что для того, чтобы ряды (1.7.2) существовали, векторная функция F
должна быть вещественной и аналитической по е при е ,.= 0. Предположим
также, что она является вещественной аналитической функцией по у. Хори
[35, 36] и Кэмел [37] независимо развили два разных алгоритма, главная
цель которых состоит в решении при помощи формальных рядов задач
нелинейных колебаний. Описание применений этих алгоритмов будет приведено
в следующей главе. Здесь мы ограничимся описанием упомянутых выше
формальных разложений.
По предположению функцию F(x, е) можно разложить в ряд
F(x, е) = 2
гп / dnF (х, е) ( дгп
8=0
2 тг *¦"(*>' (4-7-3)
п=0
а также в ряд
где
ао
F(x (^б),6) = 25-^Я)Ы,
п=0
(1.7.4)
/ д дх д " . . . .
s=0 = {di+teTx) ^(*(^8), 8)
е=0
а преобразование х - х(у,г) является обратным к преобразованию (1.7.1) и
оно предполагается существующим.
Обращая (1.7.1), мы можем также записать
(1.7.5)
7l~~= 1
44
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
так что
аТ = 2-П'х(П+1)^- (1-7-6>
п=О
Выражение для дх/де ясно указывает, что переменные у при этом считаются
постоянными. Выражение (1.7.6) можно записать так:
где
д? = Т(х,г), (1.7.7)
со оо
Т(*,в) = 2 -Й-Х(П+1)Ы = 2 (1-7.8)
п=0 п=0
Тогда имеем
d д дх д д , гг I \ д Э , т /* п а\
di-di + tete~di + T(x's)te-di + LT' (1Л-9)
где оператор Ьт, определяемый выражением
Ьт = Т(х,е)?, (1.7.10)
действует на произвольную вещественную аналитическую функцию / (х, s). В
последнем выражении Т (х, е) считается п-мер-ной вектор-строкой, а д/дх-
тг-мернымн вектор-столбцами. Теперь мы получаем
ОО
л *¦<*•'> = s 2
п== 0
оо "о оо
дх
п=0 n=0 т= 0
2 ?rt>(x), (1.7.И)
п= "
F(ni} (х) = Fn+1 (х) + 2 C(tm)Tn_m+l (х) =
n=0
где
•n
dF\ дх
т=0
2 3ft
CpnTp+i(x)-^S. (1.7.12)
P=Q
7. ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ЛИ 45
В общем случае мы получаем
ОО
:*¦(*, в) = 2 (1-7лз>
&
п-О
где
JL арФ-V
F(nfe) (х) = FnJj* (х) + 2 OWi (*) -|р- (1-7.14)
т-0
при > 1 н и > 0, а
F(n0) (х) = F" (*), F(0fe) (ж) = F(&) (х) = F(&) (у) |у=*. (1.7.15)
Уравнение (1.7.14) является основой рекуррентного алгоритма получения
коэффициентов F(n) (ж) по Fn(x) в рядах (1.7.4) и
(1.7.3). Наименование переменных, разумеется, является условным.
Соответствующие формулы получения коэффициентов Fn (х) по коэффициентам
F(n) (х) имеют вид
^ ap(fe)
F("fe) = F^} - 2 С-iTm+i и (1.7.16)
m- 0
где 1 и к 0.
Последовательная подстановка формул (1.7.16) друг в друга, начиная с п =
1, дает
= 2! C}nNj(F(h+n-i)), (1.7.17)
j=0
где 1, ft 5(r) 0, а линейные операторы N3 (/ ^ 0) определяются
формулами
No = 1,
= - 2 (x) A] = _ 2 Cf-i'N^Ln (1.7.18)
m=
при J>1 и
I дам
m=l ^ ' m=l
Lm = Tm(x)^. (1.7.19)
Например, первые несколько операторов N, имеют вид #0=1,
Ni^-Lu N2 = - NiLi - i/2)
N$ = - N^L/i - 2N1L2 - L3,
46 ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В частности, при к => 0 уравнения (1.7.17) дают
П
F°n = S Ci N} (Fln-j)),
5=0
что можно переписать так
П
Fn = 2 CiF^n_u (1.7.20)
j=o
где
Fj,h = - 2 Срги^з-ш*. (1.7.21)
m=i
Здесь по определению
F0,ft = F(ft).
Формулы (1.7.20) дают возможность рекуррентного получения величин F(n)
через Fn или величин Fn через F(n)- Как было обнаружено Кэмелом, они
являются наиболее простыми из всех возможных формул.
Векторное преобразование. Коэффициенты уп (х) в (1.7.1)' теперь можно
легко получить по формулам (1.7.16), примененным в специальном случае
(1.7.3). Тогда получаем
F(0) = F = у,
F(&) = 0, fc> 0,
Fo = Уо И =
F(n0) = Fn = yn (х).
Действительно, формулы (1.7.16) в этом случае дают
.. _ V Г(tm) гг дУп-т-1 И
Уп \х) - ^ (х) ^
7П=0
или, считая р =i т + 1,
= -2
р=1
или
п-1
(ж) = - гп (*) - 2 И -yng-¦> (1.7.22)
p=i
8. ЗАМЕЧАНИЯ
47
Обратное преобразование получается из (1.7.14) или непосредственно из
(1.7.21).
Действительно, в обозначениях выражений (1.7.4) получаем
