Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
канонического преобразования в виде ряда по степеням параметра е. Такие
преобразования можно записать в виде
У = У(?\Л, е), ж = ж(г|, |,е) (1.6.1)
или
z = z(S, е), (1.6.2)
где ж, у,Ц, I- тг-мерные векторы, а г,?- 2гс-мерные векторы. С помощью
генератора, удовлетворяющего уравнению Гамильтона-Якоби, т. е. с помощью
генератора, который требуется в методе теории возмущений Пуанкаре,
преобразование (1.6.1) можно записать так:
У = Ч + (jpj = У (Ч> е)> i = " + ^jT= 1(ч> е)> (1-6.3)
где W = W (tj, х, е) -производящая функция. Условие
W (т|, х, 0) = 0 (1.6.4)
указывает на то, что преобразование (1.6.1) является преобразованием,
близким к тождественному при достаточно малых е.
Преобразование аналогичного типа, как было видно, осуществляется с
помощью генератораS = S (у, х, е), которому соответствует решение такой
гамильтоновой системы дифференциальных уравнений:
dy (dsy dx Idsy .. д
(L6'5)
') Гамильтониан со знаком минус (прим. перев.).
40
ГЛ. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
с начальными условиями у = ц, х = | при е = 0. Справедливо следующее
основное утверждение об эквивалентности преобразований.
Теорема (Шнайад [63]). Генераторы W и S, удовлетворяющие описанным выше
условиям, удовлетворяют также соотношению
S(y,x, е) = ^(ц,х, е), (1.6.6)
где
у = ч + (5)Т = у (ч-6)- t1-6-7)
В самом деле, после применения преобразования (1.6.3) к системе (1.6.5)
новый гамильтониан S' (т|, |, е) в соответствии с теорией Гамильтона-
Якоби определяется формулой
S' (т), I (л, х, е), е) = S (у (tj, х, е), х, е) - ~ (tj, х, е). (1.6.8)
С другой стороны, величины к] и % по определению должны быть постоянными,
и, следовательно, гамильтониан S'(r\, е) должен быть тождественно равен
нулю, что и доказывает теорему.
Теперь, вспомнив, что в общем случае функции W и S представляются
степенными рядами по е, найдем связь между коэффициентами этих двух
рядов. Действительно, так как функция S' тождественно равна нулю, то
соотношение
5 + (?г)Т' 8) " Ж х' е) = 0 (1-6.9)
должно удовлетворяться тождественно при любых значениях 2п + 1
независимых переменных ц, х, е.
Запишем S и W в виде рядов
S (у, х, е) = 2 Sn+i (у, х) еп,
п~0
W (л, х, е) = 21 Wn (ц, х) 6П,
(1.6.10)
п-1
где переменные у определяются формулами (1.6.7).
Подстановка рядов (1.6.10) и (1.6.7) в (1.6.9) приводит к рекуррентным
соотношениям
+(t) m+(t) m
". ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
41
я т. д. Здесь dSn/dr\ и производные высших порядков вычисляются по
формуле dSn/dr\ [y=tI. В общем случае в работе Мерс-мана [51] пайдено,
что
где второе суммирование осуществляется по всем наборам из к + 1 целых
положительных чисел р0, ри .. Рь таких, что ро + + pi + • • ¦ + Р* - п +
1. Соотношения (1.6.11) полностью эквивалентны соотношениям,
первоначально полученным в работе [28] при нахождении явных формул для
метода Цейпеля (Пуанкаре). Рекуррентные формулы (1.6.11) теперь можно
использовать для установления явной связи между генераторами,
определяемыми методом Пуанкаре и методом Хори и Депри с помощью рядов Ли.
Эти соотношения детально исследованы в работе [51]. Эквивалентность
формул Хори и Депри устанавливается косвенным образом при внимательном
изучении того факта, что при оригинальном подходе Хори генератор S может
на самом деле считаться функцией е, хотя в этом случае приведенное
доказательство теоремы Ли не годится. Впервые дискуссия по этому вопросу
была открыта в работе [10] в связи с обсуждением некоторых отрицательных
замечаний Депри [17] о теории Хори. Аргументация авторов этой работы по
существу сводится к тому, что они считают генератор S принадлежащим
некоторому однопараметрическому семейству (параметр семейства ео), затем
строится преобразование при фиксированном значении параметра и
показывается справедливость построений для любого значения 8 параметра
ео. Аналогичный прием весьма успешно применил Пуанкаре [58] в задаче, в
которой одному и тому же параметру фиктивно присваивалось два разных
наименования; Пуанкаре проводил разложение по двум параметрам, а на
последнем этапе опять употреблял одно наименование параметра.
Для примера вслед за Пуанкаре рассмотрим функцию
(п ~|- l)VF"_|_i = Sn+i +
Wi = S и " у dhsP'
/ (6) = sinT3Ti
и ее разложение в ряд Тейлора вблизи е = 0. Можно провести это разложение
следующим образом. Пусть
42 гл. I. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Тогда разложение в ряд Тейлора имеет вид
ОО
sin Г=1Г = 2 h11 _ (-1)п| =
= 2Si1-<-|>,i2c-*<-1>v'-
п=0 т=О
Вспоминая, что |х равно е, получим выражение
si" rh " 2 (2 <- - (- ">"l) 'с.
р=0 ln=0 )
которое, как нетрудно проверить, по существу является точным разложением
функции /(е) в ряд Тейлора.
В рассматриваемом случае, возвращаясь к оператору
оо
exp (sLg) = 2 Lg,
п-О
находим, что свойство
exp(eLs) (/, g) - (exp(eLs)/, exp(eLs)g')
не зависит от того, будет ли функция S зависеть от е или нет.
Следовательно, в силу того, что вышеприведенное свойство является основой
доказательства каноничности преобразования
