Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
X) имеет вид
Yk = &ht + Y°h, Xk = 4, (2.4ДЗ)
где
Yl = const, Xl = const + О (6P+1), (2.4.24)
^ = S: + 8S: + • ¦ • + =const + 0 (8P+1)-
k k ft
Здесь 0(ep+1) -члены такого наинизшего порядка, которыми
пренебрегают после получения последних приближений Sp и Кр.
Их также можно интерпретировать как ошибку или как оценку ошибки в
решении. Разумеется это }южно сделать только в случае сходимости метода.
С этой проблемой мы будем иметь дело в следующих двух главах настоящей
книги. Грубая оценка, проведенная в работе Кинера [64], показывает, что
верхняя ошибка эквивалентна ошибке, полученной Боголюбовым и
Митропольским [8] для канонического метода усреднения Крылова -
Боголюбова - Митропольского и в действительности, как было показано в
работе Бурштейна и Соловьева [9.1], эквивалентна ошибке метода Пуанкаре.
Эта ошибка пропорциональна е при t ~ 1 /ер (но крайней мере). Сходимость
рассматриваемого здесь метода в некоторых частных случаях будет изучена в
главе III.
С чисто формальной точки зрения из (2.4.21) получаем
Уи ~ + Yk + в-Wи • ¦ ч Yn, Xi, ..., Хйп. б), ^
xh = %h + eWk (Уь ..., Yn, J?, ..., Xl, б),
где Nh, Wk - условно-периодические и свободные от секулярных члепов
функции переменных Yi, ..., Yn. Ясно, что в большинстве случаев основная
ошибка будет заключаться в частоте так как любая такая ошибка линейно
умножается на время. При практическом применении лучшим способом избежать
потери точности является численное получение значений со^ при усреднении
(ук) по времени t. Такое усреднение, если выполнены соотношения
(2.4.25), очевидно, даст значения &h. Подобное использование
"наблюдаемости" уничтожит методические ошибки, вызванные неточностью
вычисления частот <dh.
5. Быстрые и медленные переменные
Случай собственного вырождения [4] является весьма общим в теории
возмущений. Строго говоря, в этом случае движение определяется не
независимыми частотами невозмущенной системы.
74
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Это означает, что для данного гамильтониана Н0 = Н0 (х) и частот
дН0 /¦ л \
(7 = 1-
имеет место собственное вырождение, если матрица Ida л
WJ (/.* = 1............п) (2.5.1)
является особенной. Это определение включает в себя и случай рациональной
зависимости частот, и случай, когда некоторые из переменных действие не
входят в гамильтониан Н0(х), т. е. по крайней мере одна из частот со3
тождественно равна нулю. Оно также включает в себя и линейные системы, т.
е. случаи, когда
Я0 = (c)[Ж] сопхп. (2.5.2)
Теперь рассмотрим случай, когда матрица (2.5.1) имеет по крайней мере
один минор порядка т (0 < т < п), отличный от нуля. Невозмущенная система
является нелинейной, интегрируемой и определяется т независимыми
частотами, соответствующими независимым угловым переменным yh = coft (ж)
t + 2/&, где к = =, 1, .... т.. В этом случае существует каноническое
преобразование (х, у) (х', у'), такое, что, по крайней мере локально,
гамильтониан Я о зависит только от т импульсов х', а соответствующая ему
матрица (2.5.1) - неособенная.
Однако, может быть, стоит заметить, что если все импульсы х входят в Но,
то иногда можно найти преобразование, после применения которого гессиан
(2.5.1) нового гамильтониана будет неособенной матрицей. Действительно,
рассмотрим гамильтониан в самом общем виде
Н = Н(у. х, е) = Н0(х) + вН1(у, х) - ...
и предположим, что = дИ0/дх,• ф О, где / =.1, . . ., п. Если может быть
найдена такая функция F =, Ф (Н), что
F = F0{x) + bF!(у, х) + . . ., и такая, что для Q; == OFtJdx^ матрица
является неособенной, то кажущееся вырождение исчезает.
5. БЫСТРЫЕ И МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
75
Уравнения движения теперь принимают вид
• __ 1 8F Уi а. дх. '
\_dF_ а. ду/
где а - постоянная, определяемая через начальные условия формулой
a h - значение интеграла энергии, соответствующее начальным условиям У о,
хй. Очевидно, а можно представить в виде степенного ряда по е
(предполагается, что Я - вещественная аналитическая функция по всем
переменным), и если Ф - аналитическая функция, то степенной ряд
сходится. Эту процедуру нельзя применить к линейному случаю (2.5.2), так
как независимо от вида Ф(Я) гессиан функции F0(x) равен нулю. Однако эту
процедуру можно применить в остальных случаях. Например, это можно
сделать в важном случае
встречающемся во миогих задачах небесной механики (задача двух тел во
вращающейся системе координат, ограниченная задача трех тел во
вращающейся системе координат и т. д.). Хотя гессиан функции Нп равен
нулю (Яо линейно зависит от х%), видно, что существует несколько функций,
зависящих от Я о, которые приводят к функции Fq с не равным нулю
гессианом (см., напри-
Исключив пока из рассмотрения линейный случай, мы теперь исследуем
случай, при котором в Я0 отсутствуют некоторые импульсы. Пусть Xp+i. ..
хп - импульсы, не входящие в Я0, и рассмотрим теперь уравнения,
соответствующие гамильтониану
ф (Я) = Ф (Я [у0, х0, г)) = Ф (h) = а.
Ф (Я) = F0 (х) + eFj (у, х) + 8 Ч% (у,х)-± ...
