Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
для Х\ в виде степенных рядов по хо должно содержать дробные степени
этого параметра. Это является прямым следствием теоремы Вейерштрасса об
умножении степенных рядов. Использование уничтожающихся определителей,
согласно работе [13], позволяет найти решение в случае обращения в нуль
всех первых миноров порядка п - 1. Макмиллан [71] раз~ вил этот метод
дальше. Появление дробных степеней в этих случаях непосредственно
приводит к появлению дробных степеней в рядах асимптотического решения,
что, как будет видно ниже, связано с проблемами резонансов.
Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений
xt = е/г(ж, е, if), (2.2.6)
Где i=l, ..., п, а функции /4 аналитичны по х, е, t при х е D (Ъ -
заданная открытая область пространства Rn), 0 < е < 1, 1ей, и регулярны
при хг = а,- (г>== 1, . .., п), е = 0 для всех t е [0, Т]. Пусть функции
/г можно разложить в степенные ряды по |i = хг - a,i и е. При t е [0,
71], |ж4- as| ^ т{ (i = 1, ... ...,") и 0 < е С ео < 1 эти ряды являются
сходящимися. Представление уравнений (2.2.6) в виде рядов приводит к
уравнениям
где |о = хо = е, ао = 0, а нижний индекс нуль означает, что величины Хг
заменены на а,. Эти уравнения можно записать в виде
(•>)
фо
I
?=о
<pf
?,• + .2
J,k-= 0
(2.2.7)
где функции ф зависят от а и t.
Наша цель заключается в получении величии в виде степенных рядов по е,
коэффициенты которых являются функциями
58
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
времени и постоянных ос, т. е.
Ег = 2 &V. (2.2.8)
k=0
где
&г> = IfcV, *) (i=l,...,n).
Если (2.2.8) подставить в (2.2.7) и приравнять коэффициенты при
одинаковых степенях 8 в обеих частях уравнений, то в результате придем к
системе дифференциальных уравнений
t(i) _ ,п(*)
51 = ФО ,
4(i) _ V m(i)t(J)
52 - Фз Si ¦
J=1
7* n
if = 2 ч№ + 1 11", (2.2.9)
3=1 J,fe=l
= i ф(/}^1 + П1)-
5 = 1
где /? = 1, 2, 3, ... Функции jFp* зависят от решения для веек предыдущих
приближений до порядка р - 1, так что на каждом шаге имеется такой набор
приближений:
6 = Ф{Р1) ($\ t.P,)
при 1=1, ..., п; /•= 1, ..., п\ к - 1, р - 1; 1-1, .. .
..., и(р - 1).
В результате функции 1рг) находятся в квадратурах. Постоянные
интегрирования Р не являются произвольными. Действительно, если
остановиться на p-и шаге решения, то решения будут зависеть от исходных
постоянных ai, ..., ап и от пр постоянных Р. Можно предпочесть выбор Р в
виде нулей или определить их каким-нибудь другим подходящим образом. Во
втором случае они будут функциями величин ос. Если постоянные ak являются
начальными условиями, т. е. ж,(0) = а,-, то постоянные Р должны быть
выбраны так, чтобы все уничтожались при t = 0. Теперь покажем, что ряды
для получаемые описанным выше способом, будут сходящимися при te [0, Г] и
достаточно малом 8.
Без потери общности можно предположить, что правые части уравнений
(2.2.7) являются сходящимися рядами при ||4[ < 1,
2. СХОДИМОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО МЕТОДА ИТЕРАЦИЙ
59
е 1, I е [О, Г]. Белл это условие не выполняется сначала, то ему всегда
можно удовлетворить изменением скалярных множителей при li и е. Отсюда
следует, что все коэффициенты <р, стоящие в правых частях уравнений
(2.2.7), ограничены и меньше некоторого положительного М, т. е.
при i =: 1, ..., п и к - 1, 2, 3, ... Теперь можно использовать понятие
мажорирующих рядов. Действительно, рассмотрим
уравнения
Правые частя этих уравнений можно разложить в степенные ряды по е и rjj
при | е | <С 1 и |Хть-| < 1. Учитывая описанные выше предположения,
получаем, что каждый коэффициент таких рядов будет положителен и больше
соответствующего коэффициента в рядах (2.2.7). Уравнения (2.2.10) можно
решить только что описанным методом последовательных приближений. Отсюда
следует, что правые части уравнений (2.2.9) будут меньше соответствующих
правых частей уравнений (2.2.10). Таким образом, .если решение уравнений
(2.2.10) сходится, то и решение уравнений (2.2.9) также сходится. Но
уравнения (2.2.10) можно проинтегрировать в явном виде. Если начальные
условия принять равными нулю (т. е. = 0, если а; являются начальными
условиями исходной задачи), то в результате получаем
что удовлетворяет начальным условиям г] = 0 при t = 0 и е = 0. Разложение
(2.2.11) в степенной ряд по е будет сходящимся при условии
Мг
(i=-l, и). (2.2.10)
11; =
тц = ... -Цп = 1]
или
Мг
11 (1 - 8) (1 - ИГ])
п, следовательно,
(2.2.11)
2Mmt
1 -е
<1
60
ГЛ. II. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
для всех t из [0, Г], т. е. при условии
I 61 < е° ^ 1 j- 2пМТ ' (2.2.12)
Так как метод последовательных приближений дает единственный результат,
то он должен совпасть с разложением величины
(2.2.11). Таким образом, ряды для |4 являются сходящимися при t е [0, Г]
и | е | < ео, где М - верхняя оценка всех коэффициентов в (2.2.7). Видно,
что при достаточно большом Т ряды будут сходиться, вообще говоря, при е-
>-0. Описанная выше оценка не является наилучшей, поэтому слова "вообше
говоря" допускают ситуацию, когда описанный метод сходится при достаточно
