Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Все геометрические объекты пространства Vn находят свое отражение при таком истолковании процесса движения механической системы Например, при исследовании устойчивости движения и составлении уравнений в вариа- § 10] ПРИМЕНЕНИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
95
циях естественным образом возникает тензор кривизны. Применение тензорных методов позволяет, с одной стороны, вскрыть глубокие связи между классической механикой и римановой геометрией, а с другой стороны, облегчает выполнение различного рода преобразований уравнений движения механической системы. Этим вопросам посвящена монография Синга (Synge, 1936). Как пример применения тензорного анализа в ньютоновой небесной механике укажем работу Депри и Дели (Deprit, Delie, 1963), посвященную сведению уравнений задачи трех тел к системе восьмого порядка с одновременной регуляризацией двойных соударений, работу Кустаанхеймо и Штифеля (Kustaanheimo, Stiefel, 1965) по пространственной регуляризации при помощи спинорного исчисления во вспомогательном четырехмерном пространстве и работу (Knothe, 1969), в которой исследуется движение искусственных спутников в поле осесимметричной Земли. Несомненно, что дальнейшее, более углубленное использование идей римановой геометрии может оказаться очень благотворным при исследовании задач небесной механики. VJtABA З
ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Формулы Лоренца
Всякое реальное физическое событие происходит в некоторой точке трехмерного пространства с декартовыми координатами x,y,z в некоторый момент времени t. Множество всех точек х, у, z, t составляет пространство событий реального физического мира. Многочисленные опытные данные, накопленные к концу 19 — началу 20 столетия, привели к установлению четырех положений:
1) все точки пространства и все моменты времени равноправны — однородность пространства и времени;
2) все направления в пространстве равноправны — изотропность пространства;
3) законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета — специальный принцип относительности;
4) скорость света в вакууме есть величина постоянная, одинаковая во всех инерциальных системах — постулат постоянства скорости света с.
Первые два положения — общие для ньютоновой механики и специальной теории относительности. Последние два специфичны для специальной теории относительности, разработанной А. Эйнштейном в 1905 году.
Первым из основных законов ньютоновой механики является закон инерции. Система отсчета, в которой справедлив этот закон, носит название инерциальной системы. Строго говоря, в природе инерциальной системы отсчета не существует — она реализуется материальными телами лишь с большей или меньшей степенью точности. Всякая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно данной инерциальной системы, в свою очередь является инерциальной. С момента возникнования ньютоновой механики было известно, что ее законы справедливы в любой инерциальной системе — принцип относительности Галилея. Математическим § 1] ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА
97
выражением этого принципа является инвариантность уравнений ньютоновой механики относительно преобразований Галилея, дающих переход от одной инерциальной системы к другой.
Пусть имеются две инерциальные системы S (t, х, у, z) и S'(t', x',]y',z'), причем Sf движется относительно системы S с постоянной скоростью v. Если радиус-вектор некоторой точки равен г в системе S и г' в S', то
г' = Г — Vt.
С точки зрения ньютоновой механики время имеет абсолютный характер, в частности, промежуток времени между двумя событиями всегда имеет одну и ту же величину независимо от системы отсчета, в которой он измеряется. Поэтому
ґ = г.
Эти формулы характеризуют преобразования Галилея. Инвариантная запись уравнений ньютоновой механики относительно преобразований Галилея обеспечивается тем, что в левой части этих уравнений стоит вектор ускорения, имеющий одно и то же значение в любой инерциальной системе: d2r'/dt'2 = d2rldt2, а в правой — вектор силы, который также не зависит от равномерного и прямолинейного движения системы.
Из преобразований Галилея вытекает, кроме того, что расстояния между точками пространства, измеряемые в различных инерциальных системах, должны быть одинаковыми. Это является отражением того факта, что пространство ньютоновой механики описывается геометрией трехмерного собственно евклидова пространства с метрикой
ds2 = dx2 + dy2 + dz2.
Принятие специального принципа относительности и постулата постоянства скорости света коренным образом изменило ньютоновы представления о пространстве и времени. Из совокупности четырех положений, приведенных выше, следует, что для любых двух событий M (t, X, у, z) и M (t, X, у, z), наблюдаемых в разных 4 В. А. Брумберг 98 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
инерциальных системах S и должно быть _ (CJ- Ctf + (х — Xf + (у - yf +(Z- Zf =
« - (с? - CtJ + (? - Xj + (у' - у j + (? - zj. (1)
Но если положить
X0 = ct, X1 = х, я2 = у, X3 = Z, (2)
то формула (1) будет означать нечто иное, как инвариантность во всех инерциальных системах скалярного четырехмерного вектора ММ'\
