Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
kl — 1 (^l ^L __ ^L — \
х ~~ 2 [du! ди2 диа ди1) ' ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
87
Этот тензор, называемый бивектором, определяет двумерное направление касательной плоскости к поверхности. Заменяя значение бивектора внутри контура его значением в точке M и обозначая через а интеграл
du4u\ (110)
D
характеризующий в координатах и1, и2 площадь поверхности, ограниченной контуром, имеем
или в силу антисимметричности бивектора
MiZZ RkJvхН1в. (111)
Таким образом, уклонение от первоначальных значений координат вектора характеризуется тензором кривизны. Если Ln — пространство с абсолютным параллелизмом, в котором результат параллельного переноса вектора не зависит от пути, то тензор кривизны должен быть равен нулю. Аффинное пространство An обладает абсолютным параллелизмом. IIoaToMyecflHLrl — пространство без кручения (Г*- = Tji) и без кривизны (Rn]?. = 0), то оно будет аффинным (по крайней мере локально).
В пространстве аффинной связности без кручения Ln компоненты тензора кривизны удовлетворяют тождествам Риччи
н^г+ Rn** + тії=о, (112)
представляющим собой результат циклирования по трем нияшим индексам, и тождествам Бианки
VmRmt + VkRlmI + VlRmkI = О, (ИЗ)
получаемым циклированием по индексу абсолютного дифференцирования и первым двум нижним индексам. Обе группы тождеств проверяются непосредственно на основе определяющей формулы (106), причем при проверке (ИЗ) проще всего перейтд к геодезическим координатам, когда 88
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
ковариантная производная сводится к обычной. Формула
(105) для альтернированного второго дифференциала приводит в L0rl к простой формуле для альтернированной второй производной. Действительно,
Dai = Clx1Vflh
DDai = (D dxl) Vfli + dxl IxkVkVtai
и
Ddx1 = Sdx1 + Tijdridxi. В силу отсутствия кручения Ddx1 = Ddx11 и поэтому DDai — DDai = dxldxk (VkVtai — V1Vka-t), откуда из сопоставления с (105) следует
(VkVl-VlVk)ai = RklJaj. (114)
Аналогично
(VtVl- V,Vk)a' =-RiaU, (115)
и эти же законы применяются к каждому индексу тензора произвольного строения.
В римановом пространстве Vn опусканием верхнего индекса тензора Римана—Кристоффеля получается кова-риантный тензор кривизны
Rkih ^gjrnRmn (116)
или после преобразований, основанных на формулах
(106) и (53),
R - 1 ( *** I 9kgH \ *
ПкШ 2 дх'дхі ^ дхкдхі дх*дхі дхідхі j ^
+ ^,(ВД- Tf3Tli). (117)
Ковариантный тензор кривизны не меняется при перемене мест первой и второй пары нижних индексов и меняет знак при перемене порядка индексов внутри одной из пар
Rijkl — RklUi Rlkij = — Rklijj Rklji = — Rklij- (118) ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
89
Тождества Риччи (112) принимают вид
Rklii + Rliki + Rikli = (119)
но циклировать можно теперь по любым трем индексам. В силу всех этих тождественных соотношений число существенно различных компонент тензора кривизны в Vn будет равно не п4, а п2 (п2 — 1) /12.
Наряду с тензором (116) важную роль в Vn играют дважды ковариантный симметричный тензор Риччи
Rii=Ibi* (120)
и скалярная кривизна пространства
R = SiiRu- (121)
Симметричность тензора Риччи следует из того, что в соответствии с (116)
= (122)
откуда
Rii = SklRkHb (123)
и в силу (118) теперь очевидно, что Rij = Rji.
Из формулы (111) для изменения координат вектора при его параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура на некоторой двумерной поверхности можно вывести в римановом пространстве Vn дальнейшие следствия. Пусть параллельно переносимый вектор является единичным касательным вектором. После обхода он, вообще говоря, выйдет из касательной плоскости и получит некоторое приращение А Составляя скалярное произведение векторов ?г и А?*, найдем в силу (111) и (116)
SijVMi = RKlijVljx]ae,
и это выражение равно нулю на основании (118) (кососимметричность ковариантного тензора кривизны относительно і и /). Следовательно, приращение А?* ортогонально а значит, и составляющая A1^i этого приращения в касательной плоскости ортогональна Поэтому если T)1 — единичный касательный вектор, перпендикулярный so
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. iI
^t, а ф — угол поворота вектора в касательной плоскости после обхода по контуру, то
Ai^i = Л1 % ф,
откуда
STiy^A1Ii = tg ф,
а, следовательно, и
giMj Ati = tg ф. Подставляя сюда значение (111), находим
(124)
Прежде чем привести это выражение к окончательному виду, рассмотрим смысл величины с в римановом пространстве Vn. На двумерной поверхности с метрическим тензором Ga? (а, ? = 1, 2) площадь некоторой области D в соответствии с (55) выражается интегралом
Wb=JJvrIG] du1 du2.
С другой стороны, Y\G\ представляет собой площадь параллелограмма, построенного на направляющих векторах касательной евклидовой плоскости к данной двумерной поверхности. В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах ах, а2, определяется формулой
S = Ia1Xa2I = Valal — (ага2)2 =
= У G11G22-(G^)2 = /|С|,
поскольку Ga? = aaa?. В формуле (110) У \G\ = 1, т. е. площадь параллелограмма, построенного на направляюся'г дхк T-, щих векторах -^r , , равна единице. Бивектор xkl,
