Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
r-t+i®.
1 і*
и r(t) — расстояние между источником и приемником света. В системе S этот процесс воспринимается как 106 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
периодический с частотой
A«-=(1 + -? А*.
где vr = dr/dt — радиальная скорость источника света. Можно полагать, что источник света расположен в S' в начале координат, т. е. г' = 0, и тогда из обратного преобразования Лоренца следует
Vi--S
откуда видно, что частота At* в системе S связана с собственной частотой АҐ в системе Sf зависимостью
'+"Г
ДГ = r Mr. (24)
При этом
ur = — v cos 9, (25)
где 9 — угол между направлением относительной скорости Sf и направлением луча света.
Таковы основные кинематические эффекты, связанные с преобразованиями Лоренца. Их более подробное физическое истолкование содержится в многочисленных курсах по специальной теории относительности. В этой же главе приводятся лишь самые поверхностные сведения из специальной теории относительности, необходимые для задач релятивистской небесной механики.
§ 2. Динамика точки
Кривая, отображающая в пространстве событий специальной теории относительности процесс движения материальной точки, называется четырехмерной траекторией или мировой линией. Поскольку скорость движения материальной точки не может превышать скорости света, то мировая линия точки имеет мнимую длину. Дейст- ДИНАМИКА ТОЧКИ
107
вительно, из условия
/(?)'+(?)'+(§)'«
следует
—c4t2 + dx2 + dy2 + dz2 < 0,
т. е. квадрат дифференциала дуги мировой линии материальной точки будет отрицательным:
ds2 - -<Ы02 + dx12 + dx22 + da?2 < 0. (26)
Мировой линией света является изотропная прямая, определяемая условием
ds2 = 0. (27)
Рассмотрим ряд вопросов, связанных с движением материальной точки в пространстве событий специальной теории относительности. Здесь и в следующем параграфе будем считать, что греческие индексы пробегают значения от 0 до 3, латинские —- от 1 до 3.
Принимая за параметр мировой линии величину a = s/Y—1, запишем уравнения мировой линии материальной точки в виде
ха = ха (а). (28)
Миимоединичный касательный вектор
-(29)
определяет четырехмерную скорость точки. Из определения ds2 в виде (26) следует
da
= c}/~l-?dt, (30)
где V — вектор обычной трехмерной скорости с компонентами V1 = dxl/dt. Поэтому для составляющих четырехмерной скорости имеем
, ' , . »'= г—-T- ¦ (31)
/-S- '/«--S- 108 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
Вектор W с компонентами
""=T--T=T ю
У'-ТГ
представляет собой четырехмерное ускорение движущейся точки. В силу того, что и2 = -I1 векторы и Rtv ортогональны
UW = 0. (33)
По второму закону механики уравнения движения материальной точки в некоторой инерциальной системе запишутся в виде
-S-Kf") = ^X (f) Fa- (34)
Здесь т0 — постоянная величина, характеризующая инерциальную массу точки и называемая массой покоя, X(v) — определяемый ниже множитель, зависящий лишь от абсолютной величины трехмерной скорости V1 Fcl — компоненты внешней силы. Трехмерный вектор F с компонентами F представляет собой обычный вектор силы. Из условия совпадения (34) при у = 0с обычными ньютоновыми уравнениями вытекает, что %(0) = 1 и Fq = 0 при V = 0. В более подробной записи уравнения (34) принимают вид
откуда после умножения на ил получаем
Для выполнения условия TTl0 = const должно быть UqlFcl — 0, и поэтому
F0 = -Fv.
с
Полагая далее
X(P)= г---»
V '--5- ДИНАМИКА ТОЧКИ
109
находим окончательный вид уравнений (34)
d "W2 =Fv А--mQQ = F. (35)
' Hf. Г х '
dt г-^r > dt г ^r
Vi-IT V1-IT
Отсюда видно, что масса движущейся точки определяется через массу покоя т0 и скорость v формулой
M= ~ , . (36)
а величина р = mv является импульсом. Первое из уравнений (35) является следствием трех остальных. Стоящая в правой части первого уравнения величина Fv представляет собой работу, производимую силой в единицу времени, поэтому из этого уравнения следует взаимосвязь кинетической энергии E с массой точки
E = тс2. (37)
Динамической характеристикой движущейся точки может служить вектор энергии—импульса E0U1 где E0 = = т0с2 — энергия покоя. Временная компонента этого вектора совпадает с энергией точки E0U0 = тс2, а пространственные компоненты представляют собой умноженные на с компоненты импульса Е0иг = тогс.
Небесномеханические задачи, основанные на механике специальной теории относительности, разработаны сравнительно мало. Это не удивительно, так как промежуток времени между созданием специальной теории относительности и возникновением общей теории относительности был слишком коротким (фактически всего 10 лет). После же появления общей теории относительности исследование ее эффектов приобрело для небесной механики неизмеримо большее значение, чем исследование эффектов лишь специальной теории относительности. Тем не менее, отдельные работы по изучению движения материальных тел в специальной теории относительности публикуются и в настоящее время и представляют несомненный интерес для небесной механики. Однако результаты таких работ здесь не будут освещены. IlO ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЇГЛ. з
