Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если же события M1 и M2 таковы, что
I - «11 < 4- V(4 - X1Y + (у, - V1Y + (Z2 - Z1)2,
т. е. промежуток времени между ними меньше того времени, которое необходимо свету для прохождения расстояния между ними, то интервал между событиями будет
- Ct1Y + (¦X, - X1)2 + (уг - ytY + (Zj - Z1Y > 0.
(12) 102 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
Такие события называются квазиодновременными. Их порядок в разных системах может быть различным (т. е. возможно, например, t2^> J1, но t'2 < но между ними не может быть причинно-следственной связи, поскольку ни одно взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света. Интервал (12) называется пространственноподобным. Для квазиодновременных событий всегда можно найти систему отсчета, где они происходят в один момент времени. Для систем, связанных преобразованиями (7), достаточно положить
чтобы получить t2 = t'x.
3. Отставание движущихся часов. Рассмотрим часы, неподвижные в системе Sf (например, расположенные в точке xf = const, у' = z' = 0) и показывающие время Ґ. При помощи обратного преобразования Лоренца, получаемого из (7) взаимной заменой штрихованных и нештрихованных величин и изменением знака^у, находим
Обозначая через т промежуток t'2 — Ji, т. е. время, показываемое часами, покоящимися в данной системе (собственное время системы), имеем
Соответствующий промежуток времени t2 — J1 по движущимся часам будет больше, т. е. происходит отставание движущихся часов.
4. Сложение скоростей. Пусть некоторая точка движется относительно системы Sr со скоростью Uf=CLr'Jdt'. Относительно системы S ее скорость будет и — dr/dt. Считая по-прежнему, что система Sf движется со скоростью V относительно S, находим при помощи обратного
C^h—tl) (Хъ — Х\) 9
t -
V
(13) § 1] ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА
103
преобразования Лоренца
1
t' 4- — vr' t= С-
г = Г'+ Vt' + ( - A (V>" + vH') .
I K1-7 J
(14)
Переходя к дифференциалам и разделив одно соотношение на другое, получаем
и =
(15)
В частном случае, когда и' и v параллельны, имеем эйнштейновскую формулу сложения скоростей
и' + V
и =
UV
(16)
В формулу (15) скорости Uf и V входят несимметрично (если только они не параллельны). Это связано с некоммутативностью преобразования Лоренца — результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит от их порядка. Однако лишь направление скорости и зависит от порядка сложения скоростей. Абсолютная величина и обладает коммутативностью, поскольку, как следует из (15),
^2=/ W K1 - +vf++у2)2]
V1+ с* I
или окончательно
1
(ti' + V)2_ J vxu> j2
104 ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 3
Формула (15) позволяет решить целый ряд вопросов, связанных с кинематикой точки в специальной теории относительности. Например, пусть две частицы имеют скорости V1 и V2 относительно некоторой системы и требуется найти их относительную скорость. Очевидно, скорость второй частицы относительно первой представляет собой скорость второй частицы относительно системы, в которой первая частица покоится. Обозначим первоначальную систему через S'. Тогда первая частица покоится в системе S1 движущейся относительно S' со скоростью V1. Поэтому, полагая в (15) v = -V11 Uf — = V21 находим и — скорость второй частицы относительно первой. Если, в частности, скорости частиц близки друг к другу, например V2 — V1 + dv, то, полагая в (17) V — -V11 и' = V1 + dv и обозначая затем V1 через V1 получим для квадрата относительной скорости частиц выражение
/ ^2 \ 1
7 —• (18)
Как видно из сопоставления с формулой (68) предыдущей главы, это выражение представляет собой метрику пространства Лобачевского (со значением р2 = —с2).
5. Аберрация света. Как известно, в двух движущихся друг относительно друга системах направления на одну и ту же звезду оказываются не совпадающими, а отличающимися на величину аберрации.
Возвращаясь к формуле (15), снова примем для простоты, что скорость системы S' относительно S направлена по оси X1 так что vx = V1 vv = vz = 0. Тогда
ых +г; Uv =--
VU VU VU
1+— 1+— 1+—
(19)
Пусть вектор скорости и лежит в плоскости х'у' и составляет угол 8' с осью х'\
Ux = Uf COS в', Uy = Ut sin 6', Uz = 0. § 1] ФОРМУЛЫ ЛОРЕНЦА
105
Тогда вектор и будет лежать в плоскости ху: Ux = и COS0, Uv = U sin 9, Uz = 0
и угол 9 между этим вектором и осью X определится в силу (19) выражением
1/ 1 — и' Sin 0'
tg0 == --?-^r-- . (20)
6 Uf cos 9+ V v '
В случае явления аберрации, т. е. при распространении света, и' = и = с, и тогда релятивистская формула аберрации будет
|А- -Jsin 0'
tg0=r-(21)
cos 0' 4- — 1 с
Обращая эту формулу, имеем
V'-i
,2
sin 9
tg 0' = —-^-, (22)
cos 9 — —
откуда путем разложения по степеням v/c вытекает
0' — 0 = —sin0 +4-4 sin0 cosG + ... (23)
С iL
6. Эффект Допплера. Пусть в движущейся системе S' происходит некоторый периодический процесс, с которым можно связать периодическое испускание световых сигналов. В системе S эти сигналы регистрируются в момент J*, но учитывая запаздывание сигналов вследствие конечной величины скорости света, надо считать, что время испускания сигнала есть где
