Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Эйнштейн же разработал основные положения общей теории относительности чисто логическим путем, исходя из специальной теории относительности и фундаментального закона равенства гравитационной и инертной массы. И хотя сейчас путь Эйнштейна многим физикам представляется не безупречным, нельзя забывать, что именно этот путь привел к величайшему во всем естествознании триумфу логического мышления.
После создания специальной теории относительности Эйнштейн последовательно пришел к принципу эквивалентности, а затем и к принципу общековариантности. Принцип эквивалентности говорит о том, что все физические процессы протекают одинаково в инерциальной системе, находящейся в однородном поле тяготения, и в неинерциальной равномерно-ускоренной системе. Принцип эквивалентности строго локален, в отличие от закона равенства гравитационной и инертной массы, на который он опирается. Принцип общековариантности — это математический принцип, согласно которому уравнения физики должны иметь одну и ту же форму во всех без исключения системах, т. е. все системы отсчета должны быть равноправны. Сочетание этих двух принципов 120
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
[ГЛ. 4
позволило Эйнштейну говорить о принципе общей относительности, который, по его мнению, является обобщением специального принципа относительности.
Исходя из этих принципов, Эйнштейн пришел к выводу, что пространство событий общей теории относительности должно представлять собой псевдориманово четырехмерное пространство с метрикой
ds2 = ga?dx*dxfi (1)
(в этой и во всех последующих главах будем считать, что греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, латинские — 1, 2, 3).
В специальной теории относительности можно, если угодно, также записывать все уравнения в общековариант-ном виде и пользоваться любыми криволинейными системами координат. Однако пространство событий специальной теории относительности — плоское (аффинное), т. е. тензор кривизны такого пространства равен нулю. В этом пространстве существуют преимущественные, выделенные системы (аффинные), определяемые с точностью до аффинных преобразований —¦ преобразований Лоренца. В таких аффинных системах метрика пространства событий специальной теории оносительности принимает вид
ds2 = dx°2 - dx12 - dx22 - dx32 (2)
или при использовании (1)
ga? = *la?, ^00=1, Tloi = O, Ліі = — Oii- (3)
Здесь и всюду в дальнейшем будем употреблять сигнатуру +, —, —, — в то время, как в третьей главе пространство событий специальной теории относительности описывалось четырехмерным псевдоевклидовым пространством индекса 1, т. е. имело сигнатуру —, +, +. К сожалению, нет общепринятого соглашения об использовании какой-либо определенной из этих сигнатур. Хотя переход от одной сигнатуры к другой не вызывает особых трудностей, все же при изучении работ по теории относительности это обстоятельство всегда приходится иметь в виду. Как уже указывалось, изменение знака метрической формы сводится к умножению § її ПРИНЦИПЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 121
всех длин на Y— 1, т. е. величина s будет теперь играть роль величины а третьей главы.
Координаты, в которых метрический тензор имеет значения (3), называются галилеевыми. В общей теории относительности галилеевых координат не существует, но существуют координаты, близкие к галилеевым, такие, что
STa? = T]a? + Aa?, (4)
где Aa? представляют собой функции координат х°, Xl1 я?, X3, абсолютные значения которых малы по сравнению с единицей. Представление (4) является отражением того факта, что псевдориманова метрика общей теории относительности мало отличается от псевдоевклидовой метрики специальной теории.
Координаты Xа, близкие к галилеевым, допускают не только линейные преобразования, но и любые нелинейные вида
dt?
= Xа + ?а (х°, х\ X2, х%
dxt
<1, (5)
поскольку тогда и в новых координатах метрика снова будет мало отличаться от галилеевой. Вместе с тем важно подчеркнуть, что это отличие в каждой координатной системе выглядит по-своему.
В каждой точке M пространства событий общей теории относительности можно ввести локально геодезические координаты такие, что в этой точке ga? = r]a? и 1? = О, т. е. и dga?/dxu- = 0. Таким образом, в этих координатах при смещении из точки M в бесконечно близкую соседнюю точку функции ha? начинаются с членов второго порядка относительно разностей xv- — (х^)м. Если пренебречь этими бесконечно малыми членами второго порядка, то в бесконечно малой окрестности каждой точки M возникает пространство событий специальной теории относительности и все соответствующие соотношения будут выполняться в этой бесконечно малой окрестности, в частности, в ней координаты X01 Xl9 х2, т? будут иметь истолкование Ct1 X1 Ij1 Z. Тем самым локально геодезические координаты определяют локально инерциальную систему отсчета, в которой отсутствует поле тяготения. Такая 122
УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
[ГЛ. 4
возможность введения локально геодезических координат является математическим отражением принципа эквивалентности, справедливого лишь локально.
