Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующий единичной площади, называется единичным.
Единичные векторы Tii, фигурирующие в (124), можно за счет выбора координат и1, и2 привести к выражениям
дх" і дх* ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ
91
Соответствующий единичный бивектор перепишется в форме
^ = -I-GV-SV). (126)
и в силу кососимметричности RkHj по і и / выражение (124) окончательно преобразуется к виду
у ^ RklijXklXijо. (127)
Предел
К = Iim ± = RkiijXklXij (128)
О-+0 0
называется римановой кривизной в данной точке в данном двумерном направлении. В формуле (128) Xі* — единичный бивектор. Обобщение на случай произвольного, не единичного бивектора у1* достигается без труда. Очевидно, что
rij _ у7
X — —,
где S — площадь, соответствующая бивектору yij. Пусть теперь Tji, определяемые по (125),— произвольные направляющие векторы касательной плоскости. Бивектор уи будет по-прежнему определяться формулой (126), но с новым смыслом г]1. Для квадрата площади параллелограмма, построенного на этих векторах, имеем
^ = G11G22-(G14)2
или после подстановки значений (57)
S2 = (gikgjl - giigjb) SiIfcVr1'. (129)
Поэтому окончательно риманова кривизна в данной точке в данном двумерном направлении, характеризуемом произвольными векторами т)г, представится в виде
К = WW_
(SikSil-SilSjkHxI Vrj'
Из анализа (130) можно установить, что тензор кривизны пространства с постоянной кривизной К (не зависящей 92
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
ни от точки, ни от направления) имеет строение
Rkia = к (gikgii - giigik)- (131)
Для тензора Риччи и скалярной кривизны такого пространства отсюда в силу соотношения gxj gv = 6) = п имеем
Rij = — (л — 1) Kgih R = —п(п — 1) К. (132)
Примером пространств постоянной кривизны могут служить однородные и изотропные гиперсферы Sn^ в Rn. Найдем, в частности, значение К для пространств Римана и Лобачевского. Как видно из (73), для пространства Римана
g - 46Q-
Bl3 I tl2\ 2' и поэтому в начале координат
*.4 = 4o-V ^j = -oij dlg'lj - 166iJ'6/c/ Г* -О gii — g — 4 о , дхкдх1 - io р2 , Ilj-и,
откуда по (117)
Ra = 1)0«
и сравнение с (132) дает if = 1/р2.
Итак, для евклидова пространства K = О (р = сю, плоское пространство), для пространства Римана (73) К = 1/р2 (пространство с положительной постоянной кривизной), для пространства Лобачевского (74) К = —1/р2 (пространство с отрицательной постоянной кривизной).
Заканчивая на этом изложение элементов римановой геометрии и тензорного анализа, отметим, что в литературе отсутствует, к сожалению, стандартное определение тензора кривизны, что влечет за собой некоторую неоднозначность также и в дальнейших определениях. Употребляющиеся здесь обозначения, в частности определение (106), как и вообще характер изложения основной части материала этой главы, основаны на курсе П. К. Рашев-ского (1953). § 10] ПРИМЕНЕНИЕ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
93
§ 10. Применение римановой геометрии в задачах ньютоновой механики
В заключение остановимся вкратце на возможностях применения тензорных методов и идей римановой геометрии в задачах ньютоновой механики.
Пусть кривая Xі = Xі (t) представляет собой траекторию движения некоторой материальной точки в Vn. Касательный вектор Xі = dxl!dt определяет скорость этой точки, а ее ускорение выражается абсолютной производной
Р±к _ d2xk гк dt ~ dt1 + ij dt dt 9
Уравнения движения точки естественно определить как
и±
= Л (133)
где fk = fk (t, Xі, . . ., хп) — контрвариантные компоненты вектора внешних сил. При отсутствии внешних сил, т. е. при fk = 0, движение точки будет происходить по инерции по геодезической линии. Ковариантные компоненты ускорения запишутся в виде
D±i d±i .к djtI .к.I
ТГ = Tt TtoiJt = ~dt А •
После подстановки значений (53) уравнения движения (133) примут окончательную форму
dt 2 дхі
иди
XkX1 = U
dt д±{ дхi
где
d дТ дТ 4 /4 0/Ч
--TJ = Iu (134)
T=^rgki***1. (135)
Но в ньютоновой механике уравнения движения склерономных голономных систем в обобщенных 94
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
координатах записываются как
d дТ __ дТ_ _
dt dqi Dgi ~ ^b
где Qi — обобщенные силы, а кинетическая энергия T является квадратичной формой относительно обобщенных скоростей ql:
Г = (136)
Сопоставление с предыдущими уравнениями сейчас же показывает, что движение механической системы с кинетической энергией (136) можно интерпретировать как движение точки в Vn с метрикой
ds2 = CLiJ (q\ .. ., qn) dqi dqj = 2T dt2 (137)
под действием сил ^i. Если силы обладают силовой функцией U1 то Qi = OUIdqi1 т. е. система консервативна, и возможна другая интерпретация, основанная на принципе Мопертюи. Именно, если рассмотреть пространство Vn с метрикой
ds2 = 2 (E + U) Ciij dq{ dq\ (138)
где E — постоянная интеграла живых сил
T — U = E1
то геодезические этого пространства будут определяться вариационным принципом (96)
б J Y2 (Е + U) Vaii ^qi dqi = О,
а это и есть принцип Мопертюи. Таким образом, траектории движения консервативной механической системы с фиксированным значением константы E изображаются геодезическими линиями в пространстве Vn с метрикой (138).
