Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
Локальная часть этой теоремы следует непосредственно из теоремы Сарда. Если f: M->R"~ дифференцируемое отображение, то возьмем регулярное значение Х = (ЛЬ ..Kk) композиции
м
где p(yit ..., уп) = {уи ..., ук). Тогда отображение М<—^R”, определяемое формулой
x>-*f{x) — {\„ Я*, 0, 0),
9. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА-ТОМА
•103
близко к / при малых Я и трансверсально подмногообразию
Вывод глобального случая из локального мы не будем повторять, так как он опирается на рассуждения с локально конечными 'покрытиями, которые мы уже проводили в конце доказательств лемм 8.5 и 8.7.
После этих предварительных разговоров об общем положении вернемся к множеству особенностей. Начнем С foro, что решим задачу, сформулированную раньше в качестве упражнения.
9.3. Лемма. Пусть LA (п, ш) — Horn (Rn, Rm) — векторное пространство вещественных (m X п\-матриц, a LA (ft, m; г) a LA (п, т) — подпространство матриц ранга г. Тогда множество LA (п, т; г) есть дифференцируемое подмногообразие в LA (гс, т) коразмерности (n-r)-(m — г) при r < min {т, п).
Доказательство. Пусть U a LА (п, т) — открытое множество матриц вида
Произвольную точку множества LA(n, т\ г) можно считать лежащей в У (в противном случае переставим строки и столбцы). Множество U П LA (п, т\ г) состоит из таких матриц, у которых последние п — r столбцов линейно выражаются через первые г. Выберем еле* дующие матрицы А, В, С, D-.
г п—г
Т { А ? * det Л ф 0.
А: (г X /^-матрица, det А Ф 0,
В: (г X («-г))- матрица,
С: ((т — г) X (я — г))-матрица,
D: ((rn — г) X г)-матрица
104
D. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА - ТОМА
и рассмотрим отображение г т — г
А 0
(А, В, С, D)^> 1 0
D •
0 ‘ 1
Г П---Г
1 0
• В
0 ’ 1
0 С
’ А АВ
. D DB + C
Образ этого отображения лежит в U, и первый сомножитель является обратимой матрицей, поскольку deM =?*= 0. Очевидно, это отображение обратимо, поскольку существует матрица А~1. Образ (А, В, С, D) лежит в LA (п, т; г) тогда и только тогда, когда С « 0. Следовательно, множество U(]LA(n, т\ г) есть подмногообразие коразмерности (т — г) • (я — г) в множестве всех матриц. |
9.4. Лемма. Пусть f: R" -> RCT — дифференцируемое отображение и U cz LA{n, m) — дифференцируемое подмногообразие; тогда для почти всякого линейного отображения A: R'l-»>Rm (г. е. для почти всякой матрицы) отображение
R n-*LA(n,m), x^Dtf + A){x)=*Df{x) + A трансверсально U.
Доказательство. Рассмотрим отображение ф: RnXU~+LA (л, m), (х, u)*~>U — Df (х).
Пусть AezLA (п, т) — регулярное значение ф. Мы утверждаем, что тогда отображение Rn-+LA{n,m), ху-* Df (х) + А, трансверсально U. Если «ei/ и u = Df(x) + А, то точка u — Df{x) = A лежит в образе ф и является регулярным значением ф. Поэтому
9. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА - ТОМА
105
вблизи точки (дс, и) отображение <р является субмер-сией (оно имеет ранг п т и касательное отображение 7\p — эпиморфизм). Это означает, что образ отображения, касательного к Df, и касательное пространство к U в точке и порождают касательное пространство к LA(n, т) в точке А. Заметим, что дифференциал отображения Df: ЯЛ->-^Л(п, т) совпадает с дифференциалом отображения Df + А, поскольку Л—константа, принадлежащая векторному пространству LA (п, т). 1
Из этих лемм вытекает-следующая теорема:
9.5. Теорема (Р. Том). Для дифференцируемого отображения f: R" -> Rm положим
2Г (/)г- {* s Rn I Rkx f = n — r).
Тогда для почти всякого линейного отображения A: Rn-oRm множество 2>r(f+A) является дифферен-цируемым подмногообразием в R" коразмерности (т — п 4- г) • г при каждом г')
Доказательство. Имеем 2Г(f)=Df~l (LA (п, m;n — r)). По лемме 9.3 множество LA(n, m; п — r) является подмногообразием в LA(n, тп) коразмерности (т—(п—г)) •
• (n — (n — r)) = (m — n + r)'г. Согласно лемме 9.4, путем прибавления почти любого отображения А можно продеформировать f так, чтобы отображение D (f + Л) стало трансверсально каждому подмногообразию LA(n,m\ п — r). По сделанному ранее замечанию 9.2, множество 2Г(/ + Л) есть подмногообразие той же коразмерности, что и LA(n, m; п — r). 1
Стандартным рассуждением с локально конечными покрытиями можно получить отсюда более общий результат: для некоторого открытого и плотного множества отображений f ^") все множества
(/) — {* е М1 Rkx f — n — r} являются подмногообразиями. Дополнительная трудность состоит в том, что
') Здесь и инже не исключается возможность того, что это подмногообразие может быть пустым. — Прим. перев.
106
9. ОСОБЕННОСТИ БОРДМАНА - ТОМА
многообразия LA{n, т; г) не замкнуты. Однако наша цель здесь — лишь пробудить у читателя интерес к этим вопросам и указать подходящую литературу.
