Дифференцируемые ростки и катастрофы - Брёкер Т.
ISBN 5-80100-174-3
Скачать (прямая ссылка):
каждая точка ?еЛ1 обладает окрестностью на которой определено дифференцируемое отображение ф*: UKJ$.U'x. с: Rm, где (/( — некоторое открытое подмножество в Rm.
Если мы хотим дать определение дифференцируемого многообразия, не используя вложение в Rm+*, то напрашивается следующая конструкция:
1.11. Дифференцируемым многообразием называется топологическое пространство М вместе с открытым покрытием {1/J А, е Л} и гомеоморфизмами Х/^-*
Г. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
17
-» ?/' cr Rm (U'K открыто), обладающими такими свойст* ствами:
(О ик п и*
/ \
/ч>А.
Rm =э UL -------> U', cr Rm
ФЛц ^
если U\ [\U]l=9l=0, то существует дифференцируемое отображение фл^, делающее диаграмму коммутативной. Поскольку ф*ц о фцА = id, отображение ф^ — диффеоморфизм (обратимо). Очевидно, что U— — ФаЛ^П^ц), и т. д.
(ii) М — хаусдорфово топологическое пространство, обладающее счетной базой.
Многие понятия, определяемые для евклидова пространства, переносятся на подмногообразия в R" (и на многообразия). Например, пусть хе Afmc: Rm+ft. Тогда функция f: Af-*-R называется дифференцируемой в точке х, если существует обратимый росток (Rm+*t x)-*.(Rm+*, 0), такой, что
(Mm, Jc)^(Rm. 0)
18
I. РОСТКИ ПОСТОЯННОГО РАНГА
и росток f о tjj-1 дифференцируем в точке OsRmc CI Rm+*.
Другими словами, М покрывается открытыми множествами UK, каждое из которых можно отождествить с открытым подмножеством в Rm при помощи преобразования координат, и определенное на М отображение называется дифференцируемым (имеющим ранг г, и т. д.), если после сужения на такие открытые подмножества — которые после замены координат можно рассматривать как подмножества в Rm — оно становится дифференцируемым (имеющим ранг г, и т. д.).
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Литература: Дж. Милнор, Топология с дифференциальной точки зрения, в книге: Дж. Милнор и А. Уоллес, Дифференциальная топология, начальный курс, «Мир», М., 1972, стр. 177-267.
Р. Нарасимхан, Анализ на действительных и комплексных многообразиях, «Мир», М., 1971.
С. Стериберг, Лекции по дифференциальной геометрии, «Мир», М., 1970.
Цель настоящей главы — доказать следующую теорему:
2.1. Теорема Сарда. Мера Лебега множества критических значений дифференцируемого отображения равна нулю.
Определение множества нулевой меры Лебега будет дано ниже. А сейчас выведем некоторые следствия из сформулированной теоремы. Пусть f: Rn-+ -*Rm — дифференцируемое отображение. Тогда для почти всех точек b е R"‘ (т, е. всюду, кроме множества меры нуль) верно следующее утверждение: множество f{b} cr R" —дифференцируемое подмногообразие размерности n — tn. Иными словами:
При заданном f — (fu.. ,,fm) для почти всех 6jeR, система нелинейных уравнений f{ (х) — blt ле R", имеет в качестве множества реше-
ний (п — т)-мерное многообразие.
2.2. Вспомогательное утверждение. Пусть {/C„}neN— множество всех шаров в Rm, имеющих рациональный радиус и рациональные координаты центра (таких шаров счетное число!). Тогда если U a Rm — открытое подмножество, то U — [} Ki для некоторого подмно-
<еГ
жества Т а N.
Доказательство. Пусть и е>0 столь мало,
что е-окрестность точки х содержится в U. Возьмем
20
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
шар Kt с рациональным центром у, удовлетворяющим условию \х — #! < е/3, и рациональным радиусом г, удовлетворяющим условию j х — у j < г < 2е/3. В
Вот следствие из этого утверждения.
2.3. Замечание. Пусть X — произвольное подмножество в Rп и {Ux}\ei\ — семейство открытых множеств
в R", такое, что X cz (J t/v Тогда существует счетное
ХеЛ
множество Гс:Л, такое, что A- <n U
>.<=г
Доказательство. Множество X содержится в объединении тех шаров Кр, каждый из которых содержится по меньшей мере в одном из множеств С/*. Таких Кр — счетное число. Выберем для каждого из них множество C/Wp> , удовлетворяющее условию Kp^U^xp) . Тогда X содержится в объединении таких и^р) .
2.4. Определение. Множество С cz R" имеет меру нуль, если для любого е > 0 существует последовательность кубов W^crR", такая, что
ОО оо
С«=У«Г, и
<-1 Г-1
2. РЕГУЛЯРНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
21
Здесь через \Wt\ обозначен объем куба W{, т. е. | Wt | = а", где а — длина ребра W{.
оо
2.5. Ясно, что если С — U Cv и каждое из мно-
v-l
жесте Cv имеет меру нуль, то и множество С имеет меру нуль. Действительно,
до оо
Cv с= U 1^7. где ?|У7|<?.
<-! 1-1
откуда следует, что
Cc|Jw7, где ?|Г7|<?-^г = в.
i, v i, v v
Аналогичные рассуждения показывают, что для определения множеств меры нуль годятся как открытые, так и замкнутые Wlt а вместо кубов можно брать шары, параллелепипеды и т. д.
