Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В нерелятивистском пределе спинорная часть матричного элемента в (10.45) упрощается следующим образом:
“(Pi- <)Y5«(Pi. Si) & Ц+ (si) Р2'м ^ и (s,), (10.50)
где u(sj) означает двухкомпонентный паулиевский спинор; равенство (10.50) легко проверяется, если в спинорах перейти к нерелятивистскому пределу. В этом пределе пропагатор мезона переходит в фурье-образ потенциала Юкавы:
1______«_______=]______=______L_C d’V е (pi-p>)'r e.T.
{p[ — p\f—v-2 (pI~Pi)2+^2 4я ^ r
и тогда (10.45) оказывается амплитудой рассеяния порядка g%
228
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
на потенциале вида
V (г,, г2) = -Дг(1 - Рех) (т, • т2) (а • V,) (а.2 • Vt) * ^ ^ , (10.51)
где
я — go ( * V
1 4я V2М) '
а оператор Рех производит перестановку волновых функций нейтрона и протона и приводит к появлению второго члена в
(10.45). В соответствии с принципом запрета два нуклона должны находиться в антисимметричном относительно перестановки состоянии, иначе оператор (1 — Рех), действуя на состояние, дает нуль. Для двух нуклонов в s-состоянии потенциал является притягивающим на конечных расстояниях г = |Г]— •—Г21 > 0, как видно из усреднения (10.51) по углам
= ^-(1 -Рех)уТ, -ТзО, • <т2[ц2-^---------------4л63(г)]
и из того наблюдения, что это состояние, будучи симметричным по пространственным координатам, должно быть антисимметричным относительно перестановки спинов либо изоспинов. Поэтому в «-состоянии
(у (Ti • Ь) (<*1 • o2))s = (-J2 КТ1 + Т2)2 — 6] [(ffi + <х2)2 — 6])а =
= ±[г (Г + 1) —J][s(S + 1) - }] = - 1. (10.52)
Таким образом,
У* М = — 2/2 \_-f~-----~ir 63 (г)]. (10.53)
При учете нестатических поправок отталкивание в виде 6-функции «размазывается», т. е. заменяется на отталкиватель-ный кор на малых расстояниях (a short-range repulsive core interaction). Сам по себе потенциал (10.53) не описывает дейтрон и данные по рассеянию при низких энергиях. Это неудивительно, так как нет серьезных оснований надеяться на достоверность приближения статического одномезонного обмена. Действительно, поскольку константа связи велика, ёЦАл~\А, нельзя пренебрегать вкладами от диаграмм высших порядков, которые описывают процессы с многими мезонами. Однако
МЕЗОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ
229
можно показать [99], что последние дают вклад в основном на малых расстояниях г и спадают, как е~п»т, при цг>1, где п — число участвующих в обмене мезонов.
Поэтому весьма обнадеживает то, что, как показал анализ высших парциальных волн в разложении нуклон-нуклонной амплитуды, формулы (10.45) и (10.51) хорошо описывают наблюдаемые сдвиги фаз, если положить g2j4л « 14 в соответствии со значением этой величины, получаемым из анализа данных по мезон-нуклонному /ьволновому рассеянию.
§ 53. Мезон-нуклонное рассеяние
Диаграммы Фейнмана на рис. 10.8 описывают рассеяние мезона на нуклоне в низшем порядке по ?д/4я. Согласно нашим
У)
Ц > ------ —*-/V М —s*—?—I > >«—»—-/У
pj,sbXi Pi+ft Рг> s2> %2 Pi, si, %i Рг> s2> %
(а) (б)
Рис. 10.8. Мезон-нуклонное рассеяние в низшем порядке, отвечающее
формуле (10.54).
правилам амплитуда рассеяния дается выражением
= (2л)1" д/ (2Я)‘ S* <«' +''¦-«> - “•
где
m = (-ig0fx+a(P2, s2)X
1*Y5 fn-fo-M 1У5Х ¦ Ф2 ] X Xu(pl,sl)%l. (10.54)
Обратите внимание на кросс-симметрию матричного элемента (10.54); он инвариантен относительно замены
Ф1 ч_> Ф2** Я\ — Я2- (10.55)
Аналогичным свойством обладает рассмотренная ранее амплитуда (7.67) комптоновского рассеяния. Симметрия (10.55) сохраняется и во всех высших порядках [50]. Она очевидным обра-
х[т • ф:
2 *Y5 й, + 0,
¦ м
hj • Ф, + * • Ф
230
НЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1ГЛ. 10
зом следует из фейнмановских диаграмм — достаточно заметить, что для любой диаграммы, которая отвечает поглощению падающего пиона до испускания конечного, как, например, на рис. 10.8, а, найдется другая диаграмма, как на рис. 10.8,6, которая отличается от первой лишь тем, что начальный пион поглощается после испускания конечного. Мы ограничимся рассмотрением области низких энергий [100], сохраняя в 2Я члены порядка 1/М для рассеяния в s-волне и порядка \/М2 для p-волнового рассеяния. Переходя к квадратам в знаменателях фейнмановских пропагаторов и используя соотношение
«(р') *Ys (Р + q + М) iy5u (р) = й (р') qu (р),
находим
Ш = - iglx+й (р2, s2) I"-* Ф2 ) 91 '
2pi ¦ qi + ц2 (т-ф?)(т.ф|*)(-
— 2/71 • q2 + ц2
(Pi,Si)Xi- (10.56)
