Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При поворотах в изотопическом пространстве нуклонная вол-нозая функция (10.28) преобразуется как двухкомпонентный спинор, поэтому нуклону приписывается изотопический спин 1/2. Третья проекция изоспина выбирается равной +V2 для протона и —‘/2 для нейтрона. Волновая функция мезона (10.32) преобразуется как вектор с третьей проекцией 0 для я°-мезона. Таким образом, пионам приписывается /= 1.
Мезон-нуклонное рассеяние можно рассматривать как задачу с двумя каналами 1 = 3/2 и / = '/г по изоспину. Мезон и нуклон связаны с этими каналами по известным правилам сложения моментов. В рассеянии р — р и п — п в приближении зарядовой независимости участвует только канал с / =1. Для системы р — п /з = 0 и рассеяние может идти через оба канала с / = 0 и / = 1. Вскоре мы рассмотрим несколько примеров применения изоспина в задачах о рассеянии.
Подводя итоги, выпишем правила диаграммной техники в рассмотренной модели (10.33) и (10.34) с зарядово-независимыми взаимодействиями (сравните с § 34):
ФОРМАЛИЗМ ИЗОТОПИЧЕСКОГО СПИНА
223
1. Нарисовать все связные диаграммы.
2. Каждой диаграмме поставить в соответствие амплитуду с фактором
— iga {iy5xa) ^ d4x
в каждой вершине.
3. Каждой внутренней нуклонной линии, соединяющей точки х и у, ставится в соответствие пропагатор /5р(а; — у) 1, где 1 есть матрица размерности 2 X 2 в пространстве нуклонных изоспиноров. Каждой внутренней мезонной линии ставится в соответствие пропагатор i&F{x — у)бар, где бар — единичная матрица размерности 3X3, связывающая друг с другом операторы та и тр, которые входят в вершины, соединяемые мезонной линией.
4. Для каждой внешней линии ввести волнэвую функцию.
Для нуклонной линии полезны проекционные операторы УгО+тз) и Уг(1—Тз) для протона и нейтрона соответственно
и волновые функции = ( g ) и %« = ( j ) • Например, волно-
вая функция падающего нейтрона с квантовыми числами (р, s) имеет вид
»)ь =
Vf *-"¦*<<’• (10'35)
Для мезонной линии волновая функция содержит изотопическую часть фе, где фе представляет собой единичный вектор в трехмерном пространстве изотопического спина пионов. Согласно
(10.32) вектор фе, выраженный через мезонные состояния с зарядом +, — и 0 имеет следующие компоненты:
0),
фе_ = -^(1, -i,0), (10.36)
фо = (0, 0, 1).
Таким образом, в вершине, в которой поглощается налетающий зх+-мезон или испускается конечный я~-мезон, соответствующий Налетающему я+-мезону с отрицательной энергией, распространяющемуся назад во времени, появляется, как в (10.30), изотопический фактор г • ф^_ й» у(т, + г'т2) = У2 т+, Для испускания конечного я+ (или поглощения начального я-) соответ* ствующий фактор равен г • ф^_* = У2 т_.
224
НЕЭЛЁКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. 10
5. Согласно условию, принятому в конце § 49, два члена, которым соответствуют диаграммы, топологически отличающиеся только перестановкой двух нуклонных линий, имеют противоположные знаки. Каждой замкнутой нуклонной петле соответствует множитель (—1). Кроме того, в амплитуду входит множитель (—1)", где п — число античастиц в начальном состоянии (см. (6.56)).
В рассмотренной модели мы слепо следовали электродинамике. Общие свойства, такие как сохранение изотопического спина в пион-нуклонных взаимодействиях, справедливы во всех порядках по взаимодействию, если пренебрегать малыми разностями масс и электромагнитными эффектами. Однако разложение взаимодействия в ряд теории возмущений по степеням константы взаимодействия g0 полезно далеко не всегда, так как gy4л « 14 и эта величина вовсе не мала, как ее электродинамический аналог а ~ 1/137. Разложение по степеням g0 приводит к расходящемуся ряду теории возмущений вместо сходящегося.
§ 51. Сохраняющиеся токи
Вводя изотопические обозначения (10.28) и (10.32) в дифференциальный закон сохранения тока (10.23), получим
где векторные обозначения относятся к изотопическому пространству. Сохраняющийся электрический заряд, получаемый интегрированием временной компоненты с ц = 0 по всему пространству, равен
д=5л[^+(-^±л)>р + (фХФ)з]- (Ю.38)
Закон сохранения, следующий непосредственно из (10.33), имеет вид
-Д:7"=_4г ="4т + ’W»)=°- (10,39)
Его называют законом сохранения нуклонного заряда. Полный нуклонный заряд дается выражением
N = J W+W d3x = J OX + ф+ф„) d3x (10.40)
и в рассматриваемой модели сохраняется, так как сохраняется разность между полным числом нуклонов (протонов плюс нейтронов) и полным числом антинуклонов. Это видно, в частности, из диаграмм на рис. 10.4 и 10.5, поскольку при любом упорядочении во времени непрерывная нуклонная линия проходит через
§ 52] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ, НУКЛОН-НУКЛОННОЕ РАССЕЯНИЕ
225
каждую вершину. Вводя (10.40) в (10.38), получаем
