Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2
(х) — ip {х) -У jj d3p Y Vp (x) [— ie 'j d*y Vp (y) A (y) W (г/)]
Г=»1
при /~> + оо, (6.54)
4
*P (x) — ip (x) -* 'j d3p Y Vp (X) [+ ie jj diy грр (у) A (у) XV (г/)]
r = 3
при t-> — oo. (6.55)
Таким образом, полученная нами формулировка задачи рассеяния (6.54) согласуется с тем требованием теории дырок, что электроны не могут после рассеяния во внешнем поле А*(у) попасть в море с отрицательной энергией; доступными для них оказываются только незаполненные состояния с положительной энергией. Уравнение (6.55) показывает, что волны, рассеянные назад, от будущего к прошедшему, имеют отрицательные энергии.
Из (6.54) и (6.55) следует, что элементы S-матрицы можно отождествить с коэффициентами при свободных решениях \рг(х), т. е.
Sfi = Ьп — ieef jj d4y \pf (у) А (у) 4(y). (6.56)
Здесь ipf(y) представляет собой конечную свободную волну с квантовыми числами /; е/-=+1 Для решения, положительночастотного в будущем, и е/ — —1 для отрицательно-частотного в прошлом решения. В соответствии с налагаемым на решение
(6.53) фейнмановским граничным условием *Р,(*/) это падающая волна, которая при г/0-> — оо переходит в гр;(г/), падающую волну с квантовыми числами i и положительной частотой, или при г/о-*¦ +00 ~~ в отрицательно-частотную волну, распространяющуюся из будущего в прошедшее.
В уравнениях (6.56) и (6.53) заключены правила вычисления амплитуд рождения пар и аннигиляции (см. рис. 6.5), так
102
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[ГЛ. 6
же как и амплитуды — «обычного» процесса рассеяния (см. рис. 6.4).
Рассмотрим сначала обычный процесс рассеяния электрона. Тогда Ч;,(г/) при г/о->—00 переходит в падающую плоскую волну с положительной энергией фА+,(*/) и вклад п-то порядка в (6.56) равен
- ,У \ \ i\ ... (у.) А (!,„) S, (у, А (»„_,) ...
<6'57»
Ряд (6.57) содержит как диаграммы типа изображенной на рис. 6.4, так и такие, как на рис. 6.5,6.
Для расчета рождения пары мы подставляем в (6.56) вместо xl(i{y) решение, которое при t—»-)-оо переходит в плоскую волну с отрицательной энергией. В частности, в случае рождения электрон-позигронной пары с квантовыми числами (р_, s_) и (р+, s+) соответственно (где ро± > 0), мы подставляем в (6.56) вместо Фi(y) решение уравнения (6.53), которое при /-> + оо переходит в плоскую волну с отрицательной энергией и квантовыми числами (+р+, +s+, е = —1), т. е.
^Г’ (#) = д/т+ (2л)_,/! v (р+. s+)e+tp+'*¦
В качестве гр; мы возьмем решение с положительной энергией, характеризуемое (р-, е= 1). Согласно тем основным правилам, к которым мы пришли при обсуждении теории дырок, отсутствие электрона с отрицательной энергией, 4-импульсом —/?+ и спином —s+ воспринимается как присутствие позитрона с 4-импульсам р+ и поляризацией s+. В методе функции распространения мы отождествили амплитуду рождения позитрона в точке х, распространения его вперед в пространстве-времени из области взаимодействия и достижения им точки х', куда он попадает в виде плоской волны, характеризуемой (р+, s+), с амплитудой распространения электрона с отрицательной энергией, 4-импульсом —р+ и спином —s+ из точки х' назад в область взаимодействия, где он уничтожается в точке х. Таким образом, чтобы связать с процессом рождения пары амплитуды перехода, надо проследить за путем электрона с отрицательной энергией назад во времени в область взаимодействия; гам он рассеивается в поле и испускается с положительной энергией, распространяясь вперед во времени. Соответствующие фейнмановские диаграммы в двух низших порядках изображены на рис. 6.7, причем амплитуда во втором порядке в свою очередь разлагается на две, отличающиеся временнбй последовательностью двух актов рассеяния.
Задачи
103
Аналогичным образом для нахождения амплитуды аннигиляции пары мы подставляем место Ч^(г/) решение уравнения
(6.53), которое при у-* оо переходит в Vi+)(*/)- Оно отвечает электрону с положительной энергией, который распространяется до взаимодействия вперед во времени, а затем рассеивается назад и испускается в состоянии с отрицательной энергией. В п-м приближении амплитуда того, что электрон рассеется в заданное «конечное» состояние характеризуемое
квантовыми числами (р+, s+, е — —1), равна
ien \ ... d*yn^\-\yn)A(yn)SP(yn- уп_,) ... А (у{) ф<+> (г/,).
(6.58)
На языке теории дырок это амплитуда n-го порядка рассеяния электрона в конечное состояние с отрицательной энергией, 4-импульсом —р+ и спином —s+. Это состояние при t = —оо должно быть пустым, т. е. должна быть дырка, или позитрон, с 4-импульсом р+ и спином, или поляризацией s+.
Рис. 6.7. Пространственно-временные фейнмановские диаграммы для рождения пары в первом и во втором порядках. Вклад второго порядка в свою очередь разлагается на две части в соответствии с временной последовательностью двух актов рассеяния.
