Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
смысл плотности вероятности р. Это, однако, невозможно, поскольку она не является положительно определенной. Поэтому, следуя историческому пути развития [25], мы на время откажемся от уравнения (1.11) в надежде найти уравнение, содержащее первую производную по времени и допускающее, как и уравнение Шредингера, непосредственную вероятностную трактовку. Мы еще вернемся к уравнению (1.11). Хотя в дальнейшем нам удастся найти уравнение первого порядка, окажется все же невозможным сохранить положительно определенную од-ночасгичную плотность вероятности и одновременно придать физический смысл отрицательному корню (1.10). Поэтому урав-
Н = —\Jр2с2 + т2с4 .
<!>•[? + (т)> - Ч> [п + (т Л =°.
(1])*УД| — 1])УД1])*) = о,
ИЛИ
О I 1П I *
at L 2тс2 V ^
д Г ih /
- * #)] + div -Ш [Ф‘(V^ - * = 0- о • 12)
Величине
хотелось бы придать
16
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
(ГЛ. 1
пение (1.11), которое часто называют уравнением Клейна — Гордона, претендует на роль релятивистского квантового уравнения ничуть не меньше, чем уравнение, к изучению которого мы сейчас приступаем.
§ 3. Уравнение Дирака
Наше изложение будет следовать историческим работам Ди рака 1928 г. [26, 23] по поиску релятивистски-ковариантного уравнения вида (1.2) с положительно определенной плотностью вероятности. Поскольку такое уравнение содержит производную по времени первого порядка, естественно попытаться построить гамильтониан, содержащий первые производные по пространственным координатам. Подобное уравнение может выглядеть так:
“ $ ¦-т (“¦ & + - &+* • & ) ¦+ ^ •131
Входящие сюда коэффициенты а,- не могут быть просто числами, так как тогда уравнение не будет инвариантно даже относительно обычных пространственных вращений. Кроме того, если мы хотим оставаться в рамках сформулированных в § 1 общих требований, волновая функция ф не может быть скаляром. Действительно, для того чтобы в фиксированный момент времени i интеграл по всему пространству от плотности вероятности р — ф*г|) был инвариантом, величина р должна быть временной компонентой сохраняющегося 4-вектора.
Чтобы избавить уравнение (1.13) от этих недостатков, Дирак предложил рассматривать его как матричное уравнение. По аналогии со спиновыми волновыми функциями в нерелятивистской квантовой механике волновая функция ф задается в виде столбца с N компонентами
Чч
¦ф =
а постоянные коэффициенты а,- и |3 — в виде матриц размерности N X N. В итоге уравнение (1.13) заменяется на систему N уравнений первого порядка
ih ^ = Ц- ? (“‘ TF + “2 Т* + “з + ? s
dt I z- 1 \ ' UX‘ - ил~ - ил.' / Qi
i=;:
N
= ?WoV»IV lLl4'
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
17
Мы далее всюду используем матричные обозначения и опускаем индексы суммирования. Тогда система (1.14) внешне выглядит как уравнение (1.13), но теперь (1.13) следует понимать как матричное уравнение.
Для того чтобы можно было считать уравнение (1.13) отправным пунктом для дальнейшего построения теории, оно должно удовлетворять трем условиям. Во-первых, оно должно приводить к правильной связи между энергией и импульсом свободной частицы
Е2 = р2с2 + т2с4,
во-вторых, допускать уравнение непрерывности и вероятностную интерпретацию волновой функции ij) и, в-третьих, быть лоренц-ковариантным. Сейчас мы рассмотрим первые два из этих требований.
Правильное соотношение между энергией и импульсом следует из уравнения (1.13) в том случае, если каждая из компонент i|)0 волновой функции удовлетворяет уравнению второго порядка Клейна — Гордона
-К2^ = (-Н2с2У2 + т2с*)%. (1.15)
Квадрируя уравнение (1.13), находим
= у <¦,-, + »,», ** ,
дt2 ,4-', 2 дх‘дх'
I, /®*1
3
+ Yu ~7 + PWc4i|>-
i f—' дх
i = i
Мы можем привести это уравнение к виду (1.15), если матрицы aj и р подчиняются следующей алгебре:
aiafc+aftai = 26<*’ а,р + ра, = 0. а2 = р2=1. (1.16)
Какими еще свойствами должны обладать матрицы а, и р, и можем ли мы построить эти четыре матрицы в явном виде? Матрицы a, и р должны быть эрмитовыми, тогда входящий в уравнение (1.14) гамильтониан Нах будет эрмитовым оператором, как того требуют сформулированные в § 1 постулаты. Поскольку согласно (1.16) а? = р2=1, собственные значения ос; и р равны ±1. Из соотношений антикоммутации вытекает, что след, т. е. сумма диагональных элементов, каждой из матриц а, и р равен нулю. Например,
