Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
А*: (Ф, А).
(1.25)
(1.5)
P*^ih
и (1.25) приводят уравнение Дирака (1.13) к виду
ПЕРЕХОД К НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ
21
энергии взаимодействия точечного заряда:
//класс = — 7 V • А + <?Ф.
Это операторное соответствие Vonep — со. легко прослеживэется и в выражении (1.22) для тока вероятности Оно следует также из релятивистского обобщения соотношений Эренфеста [21—23]
dr i г r, 1
~Jl ~jf f//> Г1 CO.— V0nep
И
( Г > • ч д л
*]-Т1ГА,
¦| = 4е + 7^рХВ], (1.27)
где я = р — (е/с) А — оператор, соответствующий импульсу, и E==--4?--V<D, В = rot А
с at ’
—напряженности электрического и магнитного полей.
Уравнение (1.27) есть операторное уравнение для движения точечного заряда е. Введение более общего взаимодействия в уравнение (1.26) привело бы, по аналогии с классической теорией, к появлению магнитного дипольного члена и членов более высокой мультипольности.
Переходя в уравнении (1.26) к нерелятивистскому пределу, удобно воспользоваться представлением (1.17) и выразить волновую функцию через двухкомпонентные столбцы ф и
¦ -(f). 0-28)
Тогда уравнение (1.26) примет вид
ш4т{1)-са-п(1)+еФ(1)+тс2(Л)-
В нерелятивистском пределе наибольшей из фигурирующих в задаче энергий является энергия покоя тс2. Поэтому мы запишем
аич-тча)' «.»)
где функции ф и х медленно меняются со временем и удовлетворяют паре матричных уравнений
гЛтг(^) = са-я(^) + еФ(х)-2тс2(х)- (L30)
22
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
[ГЛ. 1
Если кинетическая энергия и энергия взаимодействия малы по сравнению с тс2, второе из уравнений (1.30) приводится к виду
Х = ^Ф- (1.31)
Уравнение (1.31) позволяет говорить о х как о «малой» компоненте волновой функции \|5 по сравнению с «большой» компонентой ф. В нерелятивистском приближении х имеет по отношению к ф малость порядка v/c -с 1. Подставляя (1.31) в первое из уравнений (1.30), мы получаем двухкомпонентное спинорное уравнение
Лт=(т + Л)*' (1-32)
Преобразуем это уравнение, используя следующее тождество
для спиновых матриц Паули:
а • а а • b = а ¦ b + ш • а X Ь,
или, в нашем случае,
<т • я а ¦ я = я2 -(- ia ¦ яХя = я2 — а • В. (1.33)
Тогда мы получаем уравнение
-I
= ^ + '1-34)
в котором легко узнать уравнение Паули [21—23].
Уравнение (1.34) дает нам уверенность в том, что мы пошли по верному пути, приняв уравнения (1.13) и (1.26) за отправную точку для построения теории релятивистского электрона. Две компоненты ф соответствуют двум степеням свободы электрона со спином половина; правильное значение магнитного момента электрона, отвечающее гиромагнитному отношению g = 2, получается автоматически. Чтобы явно убедиться в этом, преобразуем уравнение (1.34), сохранив в нем только члены первого порядка по взаимодействию со слабым однородным магнитным
полем В = rot А, А = 72ВХг:
“IHK— sr<L + 2S>'B>- <'-36>
Здесь L = rXP—орбитальный угловой момент, S = Угйа — оператор спина электрона с собственными значениями ±fi./2, а множитель при члене, описывающем взаимодействие спина с полем В, дает правильное значение магнитного момента электрона, отвечающее значению g, равному 2.
ЗАДАЧИ
23
Вдохновленные успешным переходом к нерелятивистскому пределу в уравнении Дирака, мы двинемся дальше и установим лоренцеву ковариантность теории Дирака. Затем мы должны исследовать дальнейшие физические следствия этой теории; в первую очередь надо дать физическую интерпретацию решениям с «отрицательной энергией».
ЗАДАЧИ
1. Запишите уравнения Максвелла в дираковской форме (1.13), используя шестикомпонентные амплитуды поля. Какие матрицы соответствуют матрицам а и Р? (См. [27, 4*].)
2. Проверьте, что матрицы (1.17) удовлетворяют алгебре (1.16)
3. Проверьте соотношение (1.33).
4. Проверьте соотношение (1.27).
ГЛАВА 2
ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
§ 5. Уравнение Дирака в ковариантной форме
Уравнение Дирака и лежащее в основе его физической интерпретации уравнение непрерывности должны быть ковариант-ными относительно преобразований Лоренца. Напомним сначала, что мы подразумеваем под преобразованием Лоренца Г28].
Два наблюдателя О и О', находящиеся в разных инерциаль-иых системах отсчета, приписывают одному и тому же физическому событию разные пространственные координаты и время. Соответствие между координатами х*, которыми описывает событие наблюдатель О, и координатами (лг**)', которыми пользуется для описания того же события наблюдатель О', задается преобразованием Лоренца
