Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Yj \ (dq' • • si • • •> «i .... 0 =
S
= ? I а J2
П
6. Развитие физической системы во времени описывается уравнением Шредингера
= (1.2)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
13
в котором гамильтониан Н является линейным эрмитовым оператором. Для замкнутой физической системы гамильтониан не зависит явно от времени, т. е. dH/dt = 0, и в этом случае его собственные состояния являются возможными стационарными состояниями системы. Принцип суперпозиции следует из линейности гамильтониана Н, а сохранение вероятности из свойства эрмитовости Н:
If ? J (dqi • • •) Ч>4> = { Z S ¦ ¦ •) IW “Ф* Ш] = 0.(1.3)
Мы постараемся сохранить перечисленные шесть известных принципов в качестве фундамента релятивистской квантовой теории.
§ 2. Предварительные замечания
Простейшей физической системой является свободная изолированная частица, нерелятивистский гамильтониан которой имеет вид
Переход к квантовой механике осуществляется путем замены
которая приводит к нерелятивистскому уравнению Шредингера
Уравнения (1.4) и (1.6) нековариантны и потому не могут быть признаны удовлетворительными. Их левые и правые части по-разному преобразуются при лоренцевых преобразованиях. Согласно специальной теории относительности полная энергия Е и импульс (рх, Ру, pz) преобразуются как компоненты четырехмерного вектора1)
S
S
(1.5)
(1.6)
р» = (р°, р[, р\ р3) = (^|, Рх, Ру, Ргу
квадрат длины которого равен
з
Yj PvF = P»F ==-§г ~ Р • Р = т2с2>
(1.7)
*) При этом Рц= — pj, *ц = (с<, — х). (Прим. ред.)
14
УРАВНЕНИЕ ДЙРАКА
[ГЛ. 1
где т — масса покоя частицы, а с — скорость света в вакууме. Более подробное обсуждение используемых в книге ковариант-ных обозначений содержится в приложении А. Отметим, что соответствие (1.5) между классическими величинами и операторами ковариантно относительно преобразований Лоренца, ибо оно устанавливает связь между двумя контравариантными 4-векторами1) djdxц.
Рассуждая подобным образом, естественно в качестве гамильтониана релятивистской свободной частицы взять выражение
Н — V Р2с2 + w2c4; (1.8)
тогда релятивистский аналог (1.6) будет выглядеть так:
= — h2c2sJ2-\-т2с* (1.9)
Гут мы сразу сталкиваемся с проблемой интерпретации квадратного корня из оператора в правой части (1.9). Если разложить корень в ряд, мы получим уравнение, содержащее все степени оператора дифференцирования; следовательно, теория нелокальна. В таких теориях имеются серьезные трудности и они
представляют собой весьма непривлекательный вариант уравнения Шредингера, в которое пространственные координаты и время входят несимметричным образом.
В целях математической простоты (а возможно, за неимением убедительной физической картины) мы избавимся от квадратного корня из оператора в уравнении (1.9), записав
Н2 = р2с2 + т2с\ (1.10)
Другой, эквивалентный способ — дважды подействовать операторами, входящими в (1.9). Тогда, пользуясь тем2), что при [А, В] — 0 из следует А2^ = мы получаем урав-
нение
_ ft2 ф = (- fi2V2c2 + m2c4) i|), в котором нетрудно узнать классическое волновое уравнение
[? + (^)> = 0, (1.11)
где
? = —-----—.
дХц дх^
*) Согласно нашим определениям x^—ict, х) и V11:»* ——-.
ОХц
г) Мы будем всюду использовать обозначение [A, fi]e=/4fi—ВА для коммутатора и {А, В) == АВ + ВА — для антикоммутатора.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
15
Прежде чем продолжить исследование уравнения (1.11), заметим, что, возводя в квадрат выражение для энергии, мы ввели добавочный корень, отвечающий отрицательной энергии:
Для того чтобы получить простое уравнение, мы пожертвовали положительно определенной энергией, и возникла трудность, связанная с существованием «лишних» решений с отрицательной энергией. Трудность эта оказывается преодолимой (мы узнаем об этом из гл. 5), и решениям с отрицательной энергией можно дать физическую интерпретацию. Эти решения связаны с античастицами, существование которых в природе является сильным экспериментальным подтверждением обсуждаемой схемы. Поэтому будем пока рассматривать соотношение (1.10) и вытекающее из него уравнение (1.11).
Наша первая задача состоит в построении сохраняющегося потока, поскольку уравнение (1.11) есть уравнение второго порядка и отличается от уравнения Шредингера (1.2), которое является основой для вероятностной интерпретации нерелятивистской теории. Аналогично тому, как находится сохраняющийся поток для уравнения Шредингера, помножим (1.11) на г|)*, затем сопряженное уравнение помножим на i]) и результаты вычтем один из другого:
