Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ai = —
18
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
[ГЛ. 1
Под знаком Sp матрицы можно циклически переставлять, Sp^4fi = Sp&4; отсюда получаем
Sp Щ = + Sp р2аг = -f Sp рагр = — Sp аг = 0.
Поскольку след есть сумма собственных значений, число собственных значений, равных +1, должно совпадать с числом собственных значений, равных —1, и, следовательно, матрицы а; и р четной размерности. Наименьшая четная размерность, N = 2, не подходит, так как ей отвечает набор лишь из трех антикоммутирующих друг с другом матриц Паули о, и единичной матрицы. Минимальная размерность N, допускающая построение матриц a.i и р, равна четырем, и именно случай N = 4 мы будем изучать. В одном из конкретных представлений матрицы а, и Р имеют вид
а‘=(«, о')' М! -?)¦ <1л7>
где ai — известные матрицы Паули размерности 2X2, а 1 в матрице р означает единичную матрицу 2X2
Для получения закона сохранения тока в дифференциальной форме мы, во-первых, вводим эрмитово-сопряженную волновую функцию ^+ = (il>, ... il>4) и умножаем (1.13) слева на г|)+:
з
гЛ-ф+ = — У г|з+а* -ф + тс2^+^. (1.18)
dt i dxR
R — I
Затем построим уравнение, эрмитово-сопряженное к (1.13), и умножим его справа на \|>:
— — ^?~^a^ + mcV"№ (1-19)
k= f
здесь a+ = a(., p+ = p. Вычитая (1.19) из (1.18), находим
гй!Ч’+Ч1 = Ет^Ч>+«Л
fc=l
или
-^-p + divj = 0. (1.20)
В этом уравнении мы отождествили с плотностью вероятности и с трехмерным вектором плотности тока вероятности
ПЕРЕХОД к НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ
следующие величины:
4
Р = = Е Оо» (1-21)
a«l
jk = c$+а*Ч>. (1-22)
Интегрируя (1-20) по всему пространству и используя теорему Грина !), получаем
^-$Лг|;+г|) = 0. (1.23)
Это равенство поддерживает нашу интуитивную интерпретацию величины р = г|з+ф как положительно определенной плотности вероятности.
Обозначения в уравнении (1.20) подчеркивают, что плотность тока вероятности j является вектором, если равенство (1.22) инвариантно по отношению к поворотам трехмерной системы координат. На самом деле нам нужно доказать справедливость гораздо более общего утверждения.
Чтобы обеспечить ковариантность уравнения непрерывности и возможность вероятностной интерпретации, плотность вероятности и плотность тока вероятности в уравнении (1.20) должны образовывать четырехмерный вектор по отношению к преобразованиям Лоренца. Кроме того, прежде чем признать уравнение Дирака (1.13) удовлетворяющим нашим требованиям, мы должны показать его лоренцеву ковариантность.
§ 4. Переход к нерелятивистской теории
Прежде чем углубляться в проблему лоренцевой инвариантности уравнения Дирака, полезно убедиться в том, что это уравнение имеет физический смысл.
Можно начать просто с рассмотрения свободного электрона и подсчитать число решений для электрона в покое. В этом случае уравнение (1.13) упрощается и принимает вид
ih
поскольку де-бройлевская длина волны бесконечно велика и волновая функция постоянна во всем пространстве. В частном представлении (1.17) для матрицы р нетрудно выписать четыре
') Равенство ^ div A dv = (^> A dS в отечественной литературе принято v X
называть теоремой Остроградского—Гаусса. (Прим. перев.)
20
УРАВНЕНИЕ ДЙРАКА
[ГЛ. 1
решения этого уравнения:
(1.24)
из которых первые два отвечают положительной энергии, а два других — отрицательной.
Посторонние решения с отрицательной энергией, к которым приводит квадратичная форма Н2 = р2с2 + пг2с4, являются основной трудностью, однако преодоление этой трудности приводит к такому важному триумфу теории, как античастицы. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 5 Пока же ограничимся «допустимыми» решениями с положительной энергией. В частности, покажем, что для них имеется разумный переход к двухкомпонентной теории спина Паули. Для этой цели мы введем взаимодействие с внешним электромагнитным полем, описываемым
4-потенциалом,
Взаимодействие проще всего ввести путем калибровочно-инвариантной замены
которая производится в классической релятивистской механике при описании взаимодействия точечной частицы, обладающей зарядом е, с внешним полем. В нашем случае замена согласно
Уравнение (1.26) описывает «минимальное» взаимодействие ди-раковской частицы, рассматриваемой как точечный заряд, с внешним электромагнитным полем. Чтобы подчеркнуть аналогию с классикой, мы записали гамильтониан в (1.26) в виде И = Н0 + //', где Н' = —ей- А + еФ. Матрица са является операторным аналогом скорости в классическом выражении лля
