Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
M [U] - Ры,
где — вероятность того, что участок At будет занят.
Среднее число — математическое ожидание — числа событий, попадающих на участок At, очевидпо, равно
M[U) = XAt,
откуда находим
Теперь рассмотрим п участков оси Ot, как п независимых опытов (независимость следует из свойства 3 потока), в каждом из которых может появиться событие А = {участок занят) с вероятностью X AL Число занятых элементарных участков — это число X событий на всем участке т (если ни на каком из элементарных участков не может появиться более одного события; в пределе при At-^Q это будет именно так). Случайная величина X имеет биномиальное распределение
P {X-m}-CT (^(1-?*"
Хт
с параметрами rh
5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
141
Теперь будем неограниченно увеличивать число элементарных участков At и найдем в пределе (при п -> оо) вероятность того, что на участок т попадет ровно т событий:
-т
--^(ЧП-ЧГ
Но мы только что доказали, что при условии п оо.
-^Uh постоянном значении произведения п—= At
биномиальное распределение стремится к пуассоновско-му с параметром Xx:
P —
ml
е априведе-
Таблицы значений функции P {т, a) = ^
ны в приложении 1.
Таким образом, мы выяснили еще один тип условий, в которых возникает распределение Пуассона.
Отметим (мы сделаем это без специального доказательства), что условие 1 (стационарность потока) не является обязательным для того, чтобы число событий, попадающих на участок длины т, распределялось по закону Пуассона (достаточно, чтобы выполнялись условия
Ґ
X
Рис. 5.2.3
Рис. 5.2.4
2 и 3). Если интенсивность потока событий X не постоянна, а зависит от времени X = X(t), то вероятность попадания ровно т событий на участок длины т, начинающийся в точке tQ и кончающийся в точке t0 + X (рис. 5.2.3),
ат _
имеет тоже распределение Пуассона: Рт = •—^- е а (т =»
О, 1, 2,...), где
a= j X(t)dt.
142 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Добавим к этому, что ось 0*, на которой случайным образом появляются точки, вовсе не обязательно должна быть осью времени, а точки на ней — моментами появления событий. Картина может иметь другой физический смысл (например, точки причаливания к берегу лодок, действующих независимо друг от друга).
Более того, закон Пуассона может возникать в результате появления случайных точек не только на оси, а на плоскости или в пространстве. В таких случаях говорят не о «потоке событий», а о поле точек на плоскости (см. рис. 5.2.4) или в пространстве.
Три условия, обеспечивающие простейший характер потока для поля точек, формулируются в виде:
1. Однородность поля — это значит, что вероятность попадания того или иного числа точек в какую-то фигуру S (см. рис. 5.2.4) (объем) не зависит от того, где ота фигура (объем) находится, а зависит только от ее площади (объема).
2. Ординарность поля — это значит, что точки на плоскости (в пространстве) появляются поодиночке, а не по две, по три и т. д. Точнее, что вероятность попадания в элементарный участок плоскости (пространства) двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.
3. Отсутствие взаимодействия в поле — это означает, что вероятность попадания того или ипого числа точек в плоскую (или пространственную) фигуру не зависит от того, сколько точек попало в любую другую непересекающуюся с ней фигуру.
Роль интенсивности X потока событий в случае поля точек играет его плотность X — среднее число точек, попадающих в единицу площади (объема). Для однородного поля точек X = const; для неоднородного X зависит от координат точки (х, у) на плоскости; (я, у, *) — в пространстве.
Можно доказать (мы этого делать не будем), что для поля, обладающего всеми тремя свойствами, число тд^ек, попадающих в заданную плоскую (пространственную) фигуру, распределено по закону Пуассона с параметром а, равным Xs1 где s — площадь фигуры (или Xv, где v — объем фигуры).
Для того чтобы возникало распределение Пуассона, не обязательно соблюдение всех трех условий, достаточно соблюдения двух последних (ординарности и отсутст-
6.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА 143
а — j* J X (хх у) dx dy (для плоскости)
(S)
а s I \ \^(х> Viz)dxdy dz (для пространства).
(S)
или
(V)
Двойной интеграл распространяется на всю плоскую фигуру S9 а тройной — на всю прострапственпую фигуру V.
Для вычисления различных вероятностей, связанных с законом Пуассона, полезно пользоваться функцией R(m9 а):
R(m,a)^i-2aWe-a = i-^P(k, а), (5.2.8)
таблицы которой приведены в [4]. Обозначим
_ m
R (m, а) « 1 — R (т9 а) _ 2 P (kt а). (5.2.9)
С помощью этой функции можно подсчитать вероятности событий, связанных со с. в. X9 распределенной по закону Пуассона с параметром а:
[*] h
P{X<x}^^awe-a^R([xha)1
где [х] — целая часть числа х (например, [0,5] — 0; [2,7] — 2). Следовательно,
P {X < х) - 1 - R ([X]9 а)% (5.2.10)
откуда
P {X > х) - 1 - P {X < х) - Я ([*], а). (5.2.11)
Пример 1. Ha автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью Я — 0,8 (вызов/мин). Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.
