Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


У л J У л J
—00 —00
Первый из интегралов в формуле (6.3.4) равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции; второй представляет собой известный интеграл Эйлера — Пуассопа:
00 OO
J e~*dt - 2 J e-^dt = Vn. (6.3.5)
— оо О
Следовательно, м. о, величины X существует и, как мы и ожидали, равно т:
M [X] « т. (6.3.6)
Величина т — м. о. нормально распределенной с. в. X, называется ее «центром рассеивания». Вычислим дисперсию с. в. X:
оо (х—TTt)2
г —00
Применим снова замену церемонной (6.3.3):
OO
Ул J
•—OO
чайной величины X, если оно существует (пиже мы непосредственно в этом убедимся). По мере удаления от точки т плотность )(х) падает, и при х-+ 00 кривая распределения асимптотически приближается к оси абсцисс Вычислим основные характеристики с в. X1 распределенной по нормальному закону (6.3.1),—м.о., дисперсию и с к. о. Имеем:
OO оо (X-W)8
M J xf(x)dx = —у= J хе i0* dx. (6.3.2)
— 00 —00
Применяя замену переменной
*A(x_m)/(0.y2), (6.3.3)
6 3 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 163
Рис. 6.3.2
есть не что ппое, как среднее квадратическое отклонение св. X:
Ox = /DlXj = с. (6.3.8)
Размерности как м. о.~ т, так и с к. о.~ о совпадают с размерностью с в. X.
Посмотрим, как будет меняться кривая распределения при изменении параметров т, о. При изменепии т кривая /(х), не изменяя своей формы, просто будет смещаться вдоль оси абсцисс. Изменепие о равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям; например, при удвоении о масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат — уменьшится в два раза. Для иллюстрации на рис. 6.3.2 показаны три нормальные кривые распределений; для всех трех т = 0; для кривой (I) а — 1, для кривой (II) 0 = 2,5, для кривой (III) ов1/2 (при построе-
6*
Интегрируя по частям, получим:
OO / OO ч
— 00 * —* OO /
Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как е при t -> оо убывает быстрее, чем возрастает любая степень t), второе слагаемое, согласно (6.3.5), равно Уя, откуда
D [Xj = о\ (6.3.7)
т. е. дисперсия с. в. X, распределенной по нормальному закону с параметрами т, о, равна о2. Значит, параметр о
164 ГЛ. в. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
2
1 -т*
— нормальная плотность для т » О, 0 = 1, приведенной в приложении [4]). Как видно из рис. 6.3.2, при увеличении о кривая распределения становится более плоской, растягивается вдоль оси абсцисс; при уменьшении о — вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (в обоих случаях ограничивая единичную площадь).
Вычислим для нормальной св. X (6.3.1) ее центральные моменты любого порядка \i, [X]. Имеем
PO оо (дс—ти)а
M*]- f (x-m)V(i)dx- *_ f (х-тУе dx. L *У2я L
Снова делая замену переменной (6.3.3), получим:
оо
ц, [X] -ц,- Щ^Х f t'e-^dt. (6.3.9)
У* L
Естественно, при любом нечетном » |і,-0 (интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю); предположим, что s четно, и применим к (6.3.9) интегрирование по частям:
' У~
2f |-M.-\ft-
л J
Vn Г2
— OO '
Имея в виду, что первый член внутри фигурных скобок равен нулю, получим:
_ (.-D(O]^y С rv^. (6 з 10)
2 Т/ л */
—OO
Теперь подставим в формулу (6.3.9) s —2 вместо s: „.2 = (2^iJf-V'V (6.3.11)
нии кривых мы пользовались таблицей значений функции
6.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 165
а—m о
Как известно, неопределенный интеграл J ё~% 2dt не выражается через элементарные функции, но его можно выразить через специальную функцию
X
ф{х) "шї''**'4'1 (6,3,15)
* о
называемую функцией Лапласа (или «интегралом вероят-
Сравнивая между собой правые части формул (6.3.10) и (6.3.11), видим, что они отличаются только множителем (5—1)о2. Следовательно,
11.-(J-I)O8Ii.-,. (6.3.12)
Формула (6.3.12) представляет собой простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать центральные моменты более высоких четных порядков через центральные моменты более низких. В частности, учитывая, что для любой св. M-O = I, получим: Ji2 = O2; [X45=8Зо4; |д,в 3 • 5о8 = 15о8 и т. д.
Из выражения для ц4 получим
ji4/o4 = 3o4/o4 = 3.
Следовательно, эксцесс нормального распределения равен нулю:
ex = fi4/o4-3 = 0 (6.3.13)
(мы об этом уже упоминали в п. 4.2).
Вычислим для нормальной с. в. X вероятность попадания на участок от а до ?:
? ? (x-mV*
P {а < X < ?) = Г /(*) dx = —7= Г e 2O* dx. (6.3.14)
J O ]/Zn J
а r а
Сделав в интеграле (6.3.14) замену переменной f=3 = (# — т)/о и соответственно изменяя пределы интегрирования, получим
?-m о
P{«<X<?> * jV<'%.
j?? ГЛ. в. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
делая замену переменной —/ = Z1 получим
о
Третье свойство следует из того, что, согласно (6.3.5), -2-?е~tV4t -J-!e-UIVJ)id-l___L. VfL e і
Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания нормальпо распределенной с. в. X на участок длиной 2/, симметричный относительно центра рассеивания (рис. 6.3.3). А именно,



