Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Корень берется его арифметическим, т. е. положительным значением.
Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращением о* для среднего квадратического отклонения (или просто о, если ясно, о какой с. в. идет речь). Вместо слов «среднее квадратическое отклонение» будем иногда писать с. к. о.
Для неотрицательной случайной величины X в качестве характеристики «степени ее случайности» иногда
(4.2.16)
(4.2.17)
Q[X]-O9- Vd[X]-Vdx
(4.2.18)
120
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
применяется коэффициент вариации, равный отношению с. к. о. к м. о.:
V = о/т. (4.2.19)'
Зная м. о. и с. к. о. случайной величины X1 можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. А. именно, значения случайной величины X только изредка выходят за пределы интервала
го ± Зо, (4.2.20)
и в большинстве случаев можно считать, что они укладываются в этот интервал. Это правило (оно более строго будет обосновано в дальнейшем, п. 10.2 гл. 10) посит название «правила трех сигма». Согласно этому правилу для того, чтобы приближенно представить себе размах случайных отклонений с. в. X от ее м. о., достаточно отложить от точки т вправо и влево по отрезку, равному Зо (рис. 4.2.1).
Математическое ожидание го, дисперсия D (или с. к. о. о) — чаще всего применяемые числовые характеристики с. в. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков. Третий * центральный момент р,3 служит
^—^jIS. для характеристики асиммет-
—і-w/////yy^yy^//^ рий («скошенности») распре-
0 /л а; деления. Если распределение
Рис. 4.2.1 симметрично относительно м. о.
(или, в механической интерпретации, относительно центра массы), то все центральные моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, при симметричном распределении и нечетном s в сумме
h
На - 2 (*i — туpi
i=l
каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что они взаимно уничтожаются и сумма равна нулю (то же справедливо и относительно интеграла, выражающего [X, для нечетного Sj который равен нулю как интеграл в симметричных пределах от нечетноц функции), Естественно поэтому в качестве характеристики
4.2. МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ
121
асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов — проще всего р,3. Он имеет размерность куба случайной величины; чтобы получить безразмерную характеристику, делят ее на куб с. к. о. Полученная величина носит название «коэффициента асимметрии» или просто «асимметрии» (иначе — «скошенности»); ее обозначают Sk (от английского skew — «косой»):
Sk = Ii3Za3. (4.2.21)
На рис 4.2.2 изображены две асимметричных кривых распределения /i (х), /2 (х); одна из них (I) имеет положительную асимметрию (Sk > 0), вторая (II)— отрицательную (Sk < 0).
Четвертый центральный момент JA4 служит для характеристики так называемой «крутости», т. е. островершинности или пло-сковершинности распределения
(применяется в основном к непрерывным с. в.)\ Это свойство характеризуется с помощью так называемого экс-ц е с с а*
Єх = |х4/о4~3. (4.2.22)
Число 3 вычитается из отношения (і4/а* потому, что для весьма распространенного и часто встречающегося
Ate)
^f2(X)
ОС
0
Рис. 4.2.2
X
Рис. 4.2.3
нормального распределения (о нем будет идти речь в гл. 6 и далее) отношение iijo* = 3. Для нормального распределения гх = 0; кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более пло-сковершинные — отрицательным (рис 4.2.3), Характери-
122
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
стикой гх пользуются главным образом для симметричных распределений.
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, иногда применяются также абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами:
?. — M [ I AT (•I; v, = M[|X°|'].
Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с ранее введенными моментами а, и р,,. Из абсолютных моментов для характеристики рассеивания иногда применяется первый абсолютный центральный момент:
V1 = M[IXI] = M[IX-TnI], (4.2.23)
называемый также средним арифметическим отклонением. На практике пользование им не так удобно, как дисперсией (или с. к. о.), так как оперировать с формулами, содержащими знак модуля, не очень удобно.
Математическое ожидание, начальные и центральные моменты (в частности, дисперсия и с. к. о., асимметрия и эксцесс) — наиболее употребительные числовые характеристики. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика с. в.— закон распределения — или не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием с. в. с помощью числовых характеристик. Часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.
