Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


праэ
что также вытекает из формулы (5.1.1), учитывая, что
Равным образом формула (5.1.1) справедлива и для Рп Aр{+ + + ;-• + +> - Рп A Оп.
праэ
На практике часто приходится вычислять вероятности «не менее т успехов в п опытах»; будем их обозначать RmI
R7n = P {л> т} =Р {Х=т}+Р {Х=т+1} + ... + P {Х=п} или
Rm- S ApW. (5.1.2)
Иногда бывает удобнее вычислять Rm через вероятность противоположного события:
Rm = P {X > m} - 1 - P {X < w},
т. е,
<VflT4. (5.1,3)
Какой из формул (5.1.2), (5.1.3) пользоваться, зависит от TOrO1 в какой иа них сумма содержит мепьше членов.
5.І. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 131
5*
Найдем важнейшие числовые характеристики с. в. X, распределенной по биномиальному закону. Для этого напишем ее производящую функцию:
п п
ф(г)= 2 Pmzm= 2 CpY-^; (5.1.4)
m=o m—o
но мы знаем, что именно так выглядит п-я степень бинома
ф(*)-(? + /«)в (5.1.5)
(отсюда и термин «биномиальное распределение»).
Пользуясь производящей функцией, найдем числовые характеристики с. в. X: м. о. и дисперсию. Дифференцируя (5.1.5) по z, имеем:
ф'(*)- n(q + pz)*-fp.
Полагая здесь z — 1, получим
ф'(1)= /г(д + р)п-4 • р = п • 1п-! • р = пр.
Итак, математическое ожидание с. в. X, распределенной по биномиальному закону с параметрами /гир, равно
mx = пр. (5.1.6)'
Заметим, что получить этот результат непосредственно из ряда распределения без производящей функции было бы несравненно труднее.
Аналогично находим второй начальный момент по формуле (4.2.28):
а2 = qp" {I)+тх.
Имеем
ф" (z) = п(п - 1) (q + pz)»-y; Ф" (1) - п(п - 1)р2.
Второй начальный момент
Ct2 = ф" (1)+тх = п(п-і)рг + пр. (5.1.7)
Дисперсию св. X найдем, вычитая из (5.1.7) m? = и2р2: Dx = п (п — 1)р2 + пр — пгрг = п2рг — прг + пр — пгрг =
= пр — npz = npq.
Таким образом, дисперсия с. в. X, имеющей биномиальное распределение с параметрами и, р, равна
Dx = npq (g = l-p). (5.1.8)
132 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Извлекая квадратный корень из дисперсии, получим с. к. о.: _ _
0х = yz>x = Гпрд. (5.1.9)
Итак, для с. в. X, распределенной по биномиальному
закону с параметрами п, ру _
тх = пр, Dx = npq, ox = l/npq. (5.1.10)
Эти выражения полезно запомнить.
Пример 1. Передается п = 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью р = 0,3 независимо от других искажается. Случайная величина X — число искаженных сообщений. Построить ее ряд распределения. Найти ее м. о., дисперсию и с. к. о. непосредственно по ряду распределения и сравнить с теми, которые дают формулы (5.1.10). Найти вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.
Решение, св. X —число искаженных сообщений — распределена по биномиальному закону (под «опытом» разумеется передача сообщения, а под «успехом» — его искажение).
По формуле (5.1.1) находим:
P0 - g5 = 0,75 = 0,16807;
P1 = Cl-p-q* = 5-0,3-0,74- 0,36015;
P2 = CIpY = |^-0,32.0,73 = 0,30870;
P3 = Сіру = 0,13230;
Pa = С\Р*<1 = 0,02835; Рь = ръ = 0,00243.
Или, приближенно, с точностью до 0,001:
P0 = 0,168; P1-0,360; P2 = 0,309; P3 = 0,133; P4 - 0,028; P5 = 0,002
(значение P3 округлено в большую сторону, чтобы сумма всех вероятностей Рт была не 0,999, а ровно 1). Приближенно ряд распределения будет иметь вид:
1 I 2
3
0,360 I 0,309
0,133
I 4 I 5 I
10,028 10,002 |-
Пользуясь приближенным рядом распределения, находим м. о. случайной величины X: »1, = 0 0,168+1 0,360 + 2 - 0,309 + 3 0,133 +
+ 4 • 0,028 + 5 • 0,002 - 1,499.
5.1. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 133
Первая из формул (5.1.10) дает для тх более точное значение:
Tnx = 5 0,3 = 1,5.
Имея в виду возможность ошибок, хоть и незначительных, дисперсию Dx вычисляем, пользуясь не приближенными, а точными значениями А». Второй начальный момент
а2 = О2 • 0,16807 + I2 • 0,3G015 + 22 • 0,30870 +
+ З2 • 0,13230 + 42 - 0,02835 + 52 • 0,00243 - 3,30.
Вычитая из OL1 точное зпачение пг% = 2,25, получим Dx = 1,05, что совпадает с результатом, даваемым второй формулой (5.1.10):
Ox- УЦ)5 » 1,03.
Найдем вероятность R2 того, что будет искажено не менее двух сообщений:
Я2 = Р{Х>2} = 1-Р{Х<2} = 1- (P0 + P1) «0,472. >
Пример 2. Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятности того, что шестерка появится а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.
Решение: св. X — число появлений шестерки — имеет биномиальное распределение с параметрами п = = 4; р = 1/6.
а) P {X - 1} - С\р (1 - р)3 = 4-(1/6) (5/6)3 ж 0,386.
б) Вероятность Ях = P {X > 1} = 1 - P (X < 1} = 1 -- P0= 1 - (5/6)* « 1 - 0,483 = 0,517. \v
В ряде задач практики приходится иметь дело не с биномиальным распределением, а с его обобщением на случай, когда вероятность «успеха» в п независимых опытах не постоянна, а меняется от опыта к опыту: в 1-м опыте она равна p. (? = 1, 2, ..., п). Будем называть это распределение обобщенным биномиальным.
Производящая функция с. в. X, распределенной по обобщенному биномиальшшу закону, имеет вид:



