Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
TYtx « па/(а + Ь)% (5.4.2)
Dx = паЪ/(а + ЪГ + п(п- 1) [^™?- (^)'].
(5.4.3)
Выводить эти выражения непосредственно из распределения (5.4.1) или его производящей функции
то=0
*) При пользовании формулой (5.4.1) надо полагать ^J = O1 если г > A1
S.4. ГЙПЕРГЕОМЕТРЙЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 151
было бы сложно; в дальнейшем (п. 8.3) мы выведем эти формулы гораздо более простым путем (пользуясь теоремами о числовых характеристиках), а пока предложим читателю Припять их па веру.
Пример 1. В шкафу находятся 9 приборов; из них 5 новых и 4 бывших в употреблении. Из шкафа наугад вынимается 4 прибора; св. X —число новых приборов среди вынутых. Построить ряд распределения с. в. X. Вычислить м. о., дисперсию и с. к. о. с. в. X двумя способами: непосредственно по ряду распределения и по формулам (5.4.2), (5.4.3).
Решение. ВерОЯТНОСТИ P7n = P {X = т}, TTl = O1 1,
2, 3, 4 находим по формуле (5.4.1), полагая в ней а »5; Ь = 4; а + Ь = 9; знаменатель С\ = ^ 2.3.4 5888126. Имеем:
P _^-_Ll~onoa- P - с*'с« x= 5'4~ о iso*
0 ~ ТЭГ ~~ Ї26 ~ U'WO' 1 ~~ 126^ Ї26 ~
P_?|?|_1o1g_0 a7?e р ffii o17.
Л--&Г*0,040.
Ряд распределения с. в. X:
0 1 1 I 2 I 3 I 4 1
' 0,008| 0,159 j 0,476 1 0,317 1 0,040Г По ряду распределения находим тх:
тх - 0 • 0,008 + 1 • 0,159 + 2 • 0,476 + 3 • 0,317 +
+ 4 - 0,040 = 2,222,
То же значение /юх«* 2,222 получим по формуле (5.4.2):
Tnx = А4~ 2,222*).
Для нахождения дисперсии сначала «грубо центри-» руем» с. в. X, перенося начало отсчета в точку с абсциссой 2, близкую к тх; при этом, как мы знаем, дисперсия
*) Точного совпадения могло и но быть, так как вероятности в нижней строке ряда распределения округлены до 0,001.
152 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
не меняется. Получим ряд распределения св. У = X — 2: I -2 I -1 1 О I 1 1 2 " I 0,008 I 0,159 I 0,476 | 0,317 10,040 '
Второй начальный момент с в. У: а2 [Y] = (-2)2 • 0,008 + (-1)2 • 0,159 + О2 • 0,476 +
+ I2 • 0,317 + 22 • 0,040 » 0,668,
откуда дисперсия
D [Y] - D [X] « а2 [Y] - mj - 0,668 - (тх - 2)^0,619.
По формуле (5.4.3) получим более точное, чем это, значение дисперсии: Dx = 0,617.
Небольшое расхождение в последнем знаке с ранее вычисленной дисперсией объясняется погрешностями округления вероятностей в ряде распределения. >
В заключение заметим, что при а «>, Ь °о, а/(а+ Ь) = р гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному с параметрами п и р. В этих условиях п зависимых опытов, состоящих в вынимании п шаров из урны, содержащих а белых и Ъ черных шаров, становятся практически независимыми, а вероятность появления белого шара от опыта к опыту не меняется и остается равной р = а/ (a + b).
Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных с контролем продукции (пример 3 п. 1.2).
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
6.1. Равномерное распределение
Говорят, что с. в. X имеет равномерное распределение на участке от а до Ь, если ее плотность f(x) на этом участке постоянна:
1
^ZTa ПРИ х є (а> Ъ)> О
(6.1.1)
при X ф (а, Ъ)
Говоря о непрерывных случайных величинах, мы будем, как уже условились, в целях простоты записывать выражение для плотности f(x) только на тех участках, где она отлична от нуля; при этом будет подразумеваться, что на всех остальных участках она равна нулю. В частности, плотность равномерного распределения будем записывать в виде:
1
b — а
при а < X < Ь
(6.1.2)
или же совсем коротко
(6.1.3)
Значения f(x) в крайних точках а и Ъ участка (а, Ь) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной с. в. равна нулю.
Кривая равномерного распределения (рис. 6.1.1) имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (а, Ъ); в связи с этим равномерное распределение иногда называют «прямоугольным».
Математическое ожидание с. в. X, имеющей равномерное распределение на участке (а, Ь), как видно из механической интерпретации (центр массы), равно абсциссе
а /77х ъ Рис. 6.1.1
X
154 ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
т
Дисперсию с. в. X также можно найти, исходя из ме-хапической интерпретации (момент инерции распределения относительно центра массы):
Dx = ^-?^-. (6.1.5)
Тот же результат можно получить, вычисляя интеграл:
ъ
а + Ъ 2 dx _ (Ъ — а)2 2 ) Ь - а ~ 12 •
Из (6.1.5) следует выражение для с. к. о. равномерного распределения:
Моды равномерное распределение не имеет; его медиана, из соображений симметрии, равна тх = (a + 6)/2. Из тех же соображений симметрии третий центральный момент с. в. X равен нулю:
Цз = 0.
Для определения эксцесса найдем четвертый центральный момент:
а
откуда эксцесс с. в. X равен
8,-(1^-3--1,2. (6.1.7)
Как и следовало ожидать, эксцесс отрицателен.
середины участка:
тх = а-±^. (6.1.4)
Тот же результат можно получить и вычисляя интеграл:
