Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
F(x) = \ Xe-^dx= 1-е
-и
(*>0).
График ф. р. показательного распределения показан на рис. 6.2.2.
Найдем числовые характеристики показательного распределения:
OO 00
тпх — J xXe'^dx = IJ xe~%*dx. о о
Производя интегрирование по частям и учитывая, что при X °° с* стремится к пулю быстрее, чем возрастает любая степень х, находим
го. - 1, (6.2,2)
6.2. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 159
т. е. м. о. случайной величины, имеющей показательное распределение, обратно его параметру X (который имеет размерность, обратную размерности св. X). Вычислим дисперсию с. в. X по формуле:
OO
Dx = a2-ml = X J А""**** -~^т = ^- (6.2.3) о
Отсюда с к. о.
Ox=IfX1 (6.2.4)
т. е. с. к. о. с. в. X, имеющей показательное распределение, равно ее м. о.:
Ox = тпх = 1/Х.
Коэффициент вариации с в. X, имеющей показательное распределение (6.2.1), равен единице:
v = OxImx = 1. (6.2.5);
Коэффициент вариации, показывающий, какую долю математического ожидания составит с. к. о., служит своего рода характеристикой «степени случайности» неотрицательной случайной величины и в ряде случаев применяется для ее оценки. Случайные величины, имеющие V < 1, так сказать, «менее случайны» по сравнению с имеющими показательное распределение; имеющие v > 1 — «более случайны».
Чтобы найти асимметрию показательного распределения, найдем его третий центральный момент:
OO
о
Откуда коэффициент асимметрии Sk - ц3/о3 - 2.
Как и следовало ожидать, асимметрия показательного распределения положительна.
Показательное распределение тесно связано с простейшим (стационарпым пуассоновским) потоком событий. Покажем, что интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:
Ut)-Xe-" [t>0l їбЗД
160
ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Для этого найдем сначала ф. p. F(t): F(t) = P{T<t}.
Рассмотрим на оси 0* интервал времени T между двумя соседними событиями потока (рис. 6.2.3). Для того чтобы выполнялось неравенство T < t, нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало па участок
длины t\ вероятность этого
, г-^-\ A1 = I-P0 = I-*-",
t откуда
F(O -1-е-" (*>0)\
(6.2.7)
Дифференцируя, получим плотность:
j{t) = %e-u (*>0), (6.2.8)
а это есть не что иное, как показательное распределение (6.2.1).
Показательное распределение играет большую роль в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности — существенных разделах прикладной теории вероятностей.
Пример 1. С. в. X имеет показательное распределение с параметром X = 2. Найти вероятность события И<Х<2).
Решение. Имеем F(x)= 1 — е-2* (я>0). Вероятность попадания на участок (1, 2) равна приращению ф. р. на этом участке:
P{l<X<2} = F(2)-F(l) = l-r2-(l- e~l) =
= ^-^^0,368-0,135 = 0,233. *
Пример 2. Время безотказной работы ЭВМ —случайная величина Г, имеющая показательное распределение с параметром К (физический смысл величины К — среднее число отказов в единицу времени, если не считать простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже проработала без отказов время т. Найти при этом условии плотность распределения fx(t) времени Tx, которое проработает ЭВМ после момента т до ближайшего отказа.
Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последействия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от т до x + t не зависит от того,
6.3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
161
появлялись ли отказы ранее момента т (рис. 6.2.4): F, (0 = P {Tx < t) - 1 - е~и (t > 0),
откуда
U(t)~ Ке-и (*>0),
т. е. распределение времени, оставшегося до следующего отказа, не зависит от того, сколько време-ни ЭВМ уже проработала безотказно.
Заметим, что этот вывод точен только при про- t tf+t стейшем потоке отказов, рис# ? 2.4 но приближенно справедлив и при потоке отказов, мало отличающемся от простейшего, а такие потоки нередко встречаются на практике. >
6.3. Нормальное распределение
Нормальный закон распределения (иногда называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Говорят, что с. в. X распределена по нормальному закону с параметрами яг, о, если ее плотность распределения имеет вид:
(х-тГ
о у2л
2<Г
(6.3.1)
или, пользуясь весьма удобным способом записи показательной функции ехр {х) = е* (она позволяет избегать «многоэтажных» формул),
У2л
ехр
{(г-т)21 1 2о2 Г
(6.3.1')
Кривая нормального распреде-Рпс. 6.3.1 ления имеет симметричный, хол-
мообразный вид (рис. 6.3.1). Максимальная ордината кривой, равная 1/(оУ2л), достигается при х = т (мода Mx = т)\ из соображений симметрии мы вправе ожидать, что она совпадает с м, о, слу-
6 Теория вероятное І ей 11 се им/кенерные приложени )
162 ГЛ. 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
M [X) - -i= f (о Vl t + т) e-ftat
получим
OO OO
-Ш Г te-'a + J^ Г (6.3.4)
