Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


ФІ*1-{їі + Л«1 + ft*),. .(g« + PnZl !(5.1.11)
434 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
или, короче,
Ф 00 = П (<?i+ Pi*), (5-1-12)
1=1
где qt = 1 - р{.
Нетрудно убедиться, что, перемножая биномы (5.1.12) и приводя подобные члены с одинаковыми степенями Z, мы получим
Ф(*)= S PmZ™, (5.1.13)
где Рт — сумма всех возможных произведений, в которые входят т букв р{ с разными индексами и (п — т) букв q{ с разными индексами. Но точно по такому же алгоритму составляются и коэффициенты при zm в разложении производящей функции (5.1.12) по степеням z.
При вычислении вероятностей Рт в обобщенном биномиальном распределении часто бывает удобнее не перебирать все возможные комбинации произведений, а перемножать биномы производящей функции.
Важнейшие числовые характеристики с. в. X, имеющей обобщенное биномиальное распределение, равны:
п п
тх — S Pi\ Dx « 2 Piffi- (5.1.14)
i=l i=l
Формулы (5.1.14) можно было бы вывести, исходя из производящей функции (5.1.12), по в дальнейшем (п. 8.3) мы получим их гораздо более простым путем.
Пример 3. По каналу связи передаются четыре сообщения. Каждое из пих, независимо от других, может быть искажено. Первое сообщение искажается с вероятностью Pt = 0,1, второе — с вероятностью р2 = 0,2, третье — с вероятностью рз = 0,3, четвертое — с вероятностью р4 = 0,4, св. X — число искаженных сообщений. Пользуясь производящей функцией, построить ряд распределения с. в. X. Найти вероятность того, что будет искажено: а) хотя бы одно сообщение, б) не менее двух сообщений. Найти — непосредственно и по формулам (5.1.14) — ее числовые характеристики: тх, Dx и о*.
Решение. Производящая функция:
Ф (*) = (?i + Pi*) (g2 + р2з) (?з + Psz) (g4 + pa)
- (0,9 + 0,Iz) (0,8 + 0,2z) (0,7 + 0,3z) (0,6 + 0,4z) -- 0,3024 + 0,4404z + 0,2144z2 + 0,0404z3 + 0,0024«4,
5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА 135
Ряд распределения с. в. X имеет вид:
о і 1
2
3
4
0,3024 I 0,4404
0,2144
0,0404
0,0024
тх = 0 • 0,3024 + 1 - 0,4404 + 2 • 0,2144 + 3 • 0,0404 +
+ 4 • 0,0024 - 1,000.
Тот же результат даст первая формула (5.1.14):
Tnx = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4=1.
Дисперсию вычислим не через второй центральный момент, а непосредственно:
Dx = (O- I)2 - 0,3024 + (1 - I)2 . 0,4404 +
+ (2 — I)2 • 0,2144 + (3 — I)2 • 0,0404 +
+ (4-I)2 0,0024 = 0,7.
Тот же результат получим по второй формуле (5.1.14):
Dx = 0,9 - 0,1 + 0,8 - 0,2 + 0,7 • 0,3 + 0,6 - 0,4 = 0,7. Извлекая корепь из Dx, получим
Gx = уо/7 » 0,837.
Вероятпость того, что будет искажено хотя бы одно сообщение и не менее двух сообщений:
A1 - 1 - P0 = 0,6976; R2 = 1 - (P0 + Л) = 0,2572. > 5.2. Распределение Пуассона
Говорят, что с. в. X имеет распределение Пуассона, если ее возможпые значепия: 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой
-ТП
Рт = 1гіе~а (и-0,1,2, ...). (5.2.1)
Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей.
Закон Пуассона (5.2.1) зависит от одного параметра а, смысл которого в следующем: од является одновре-
136 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
меино математическим ожиданием и дисперсией св. X, распределенной по закону Пуассона. Докажем это.
Воспользуемся для этого производящей функцией ф (z) случайной величины X:
Сумма в последнем выражении есть не что иное, как еа\ поэтому
Ф (z) = е~а• еаг = еа{г~*\ (5.2.2)
Чтобы найти м. о. величины X, продифференцируем производящую функцию (5.2.2) по z:
ф'(г) = деа(*-!>
и положим в ней z = l; получим тх = я. Дифференцируя второй раз, найдем
V"(z) = aV<*-l); ф"(1) = а2. (5.2.3)
Найдем второй начальный момент:
а2 = ф" (1)+тж = а2 + а.
Дисперсию с в. X выразим через <х2 и тх: Dx = a2 —ml = а2 + а —а2 = а.
Итак, параметр а пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии св. X, имеющей это распределение. Найдем с.кл).:
Сх = УЕГх = й. (5.2.4);
Коэффициент вариации для св. X, распределенной по закону Пуассона, равен
V = OJmx = У а/а = 1/Ya (5.2.5);
и стремится к нулю при увеличении а.
Многоугольники распределения для св. X, распределенной по закону Пуассона с параметрами а = 0,5; а = = 1,0; a = 2; а = 3,5 показаны на рис 5.2.1.
Рассмотрим условия, при которых возникает пуассо-новское распределение.
Прежде всего покажем, что оно является предельным для биномиального, когда число опытов п неограниченно увеличивается (п «>) и одновременно
5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
137
параметр р (вероятность «успеха» в одном опыте) неограниченно уменьшается (р-*0), но так, что их произведение пр сохраняется в пределе постоянным и равным а:
Hm пр = а.
п-»оо
Из предыдущего пункта мы знаем, что м. о. случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами пир, равно пр. Мы обозначили
пр = а. Для случайной величины X, имеющей биномиальное распределение с параметрами п и а/п,



