Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе были построены доверительные интервалы Для оценки спектра мощности в заданной точке X. Вне этих пределов могут оказаться только (1—у) 100% всех значений изучаемых величин. Иногда могут представлять также интерес Доверительные области для целого диапазона частот. Woodroofe, Van Ness (1967) рассматривали асимптотическое распределение
переменной
.<??,ГИ?Н»(Й1' <5'713>
когда NT—*oo при T —>оо. Доверительную область для fxx№)> О < А < я, можно определить, исходя из этого асимптотического распределения.
5.8. Смещения и предварительная фильтрация
В этом параграфе мы займемся более детальным анализом смещения предлагаемых оценок спектра мощности. Мы выясним, каким образом, используя элементарную операцию под названием „предварительная фильтрация", можно уменьшить смещение. Начнем с рассмотрения периодограмм сглаженного ряда. Предположим для удобства, что EX(Z) = O, хотя все основные выводы останутся в силе и в общем случае.
Пусть
^Р(Х) = ^к(^)Х(і)ехр{-іЩ9 -оо<Я<оо, (5.8.1)
где Л (а) —временное окно, обращающееся в нуль при и < 0, и > 1. Тогда соответствующая периодограмма имеет вид
Определим ядро
л
/С(Г) («) = IHW (а) I2/ S IHW (а) |i da, (5.8.3)
-Л
где
HW (а)== ?h (-f) ехр {- //а}. (5.8.4)
В этих терминах утверждение теоремы 5.2.3 имеет следующий вид:
л
E/J&W = J /?<г> («) fxx (Я-а)da. (5.8.5)
-Л
Рассмотрим это математическое ожидание более подробно. Поло-
ЖИМ
л
#г> („) = j K(T) (а) ехр {_ща} da
-?*(f)*(^)/s»(T)'- <5-8-6)
Как и следовало ожидать из § 3.3, верна
Теорема 5.8.1. Пусть X (t), t = О, ± 1, ...,— действительный ряд со средним 0 и ковариационной функцией, удовлетворяющей условию
21 "1Р !<**(«) К 00 (5-8.7)
для некоторого P^l. Предположим, что временное окно h (и)— такое, что km(u), задаваемое (5.8.6), может быть представлено в виде
km {и) = ! + k. JL + k% |1 + ... + kр_ 1 + О ()
+ 0(Т-р) при \и\^Т. (5.8.8) Пусть I(xx(h) задается формулой (5.8.2). Тогда
л
EIхЧ (X) = S Кт (a) fxx (X -a) da
-Л
= ipT~Pk/xpx (\) + 0(Т-П, (5.8.9)
JD=I
fxx (X) обозначает р-ю производную fXx(ty- Остаточный член равномерен по X.
Из определения следует, что k(T) (и) = km (—и), откуда kp = 0 для нечетных р в формуле (5.8.8). Таким образом, главный член смещения по формуле (5.8.9) равен
-«/-M!. (5.8.10)
Как видно, этот член зависит как от применяемого ядра, так и от исследуемого спектра. Мы будем стараться выбирать сглаживающую функцию такой, чтобы | k2| было по возможности меньше.-© самом деле, если мы используем определение (3.3.11) ширины окна, то ширина ядра К(Т) (а) равна V\k2\/T, что также делает предпочтительными малые \k2\. Ширина ядра—важный параметр в определении величины смещения. Так, например, в спектре трудно различить пики, расстояние между которыми меньше, чем V\k2 Это тесно связано с выводами теоремы 5.2.8,
из которых следует, что IXX (X) и IXX (\*) сильно зависимы, когда X близко к [Л. Выражения (5.8.9) и (5.8.10) показывают, что смещение будет исключительно мало в том случае, когда fxx(a) близка к константе в окрестности Х\ это замечание подтверждает необходимость предварительной фильтрации, что будет обсуждаться позднее.
Рассмотрим оценку
т
/Й(Я)= Z Wtm (2n[s(p+i]) , (5.8.11)
в которой 2ns [T)IT близко к X и
т
S IF/= 1. (5.8.12)
Ввиду
т
EfPx (X) = 2 fl^E/ft (2я[5(гГ)+Л) (5.8.13)
/= -т
остаются справедливыми замечания к теореме 5.8.1 о том, что смещение (5.8.11) будет меньшим для меньших k2 и для fxx (а)> близких к константе. Это подтверждает также и выражение
л
- ЩТх ^Д(Г) (*-т) fxx (ЦЭ-а) dec, (5.8.14)
-л /
которое вытекает из (5.8.5). Ядро
^WjKW (а—Щ (5.8.15)
/
интеграла (5.8.14) повторяет форму функции, задающей величины Wj для а, близких к 2nj/T, J = Q9 ±1, .... ±ш. Грубо говоря, ширина этого ядра в т раз превышает ширину К{Т)(а), так что смещение (5.8.11) должно быть больше, чем смещение для 1(хх(Х)у если fxx(a) отличается от константы. С помощью статистики (5.8.11) будет трудно различать пики fxx (Х)> расстояние между которыми меньше, чем mYkjT. Сглаживание свесами W1 приводит к уменьшению разрешающей способности статистики 1хх(Х). Необходимо помнить, однако, что сглаживание было введено для увеличения устойчивости оценки, есть также основание полагать, что в некотором более общем смысле сглаженные оценки будут лучше.
Вернемся к детальному исследованию состоятельной оценки, введенной в § 5.6. Напомним ее вид:
~? S (х-Щ /й (*»), ' (5.8.16)
S=I -
где /хх (Я)задается формулой (5.8.2), a W<r> (а)—формулой (5.6.2).
Теорема 5.8.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,— действительный ряд со средним О и ковариационной функцией, такой, что
І |иПсн(и)1'<» (5-8.17)
Зля некоторого P^l. Пусть временное окно h(и) таково, что k{T) (X) из формулы (5.8.6) может быть представлено в виде (5.8.8) для I и К Т. Пусть fxx (X) задается (5.8.16), причем W (а) удовлетворяет условию 5.6.1. Тогда
