Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бриллинджер Д.Р. -> "Временные ряды. Обработка данных и теория." -> 58

Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.

Бриллинджер Д.Р. Временные ряды. Обработка данных и теория.: Монография. Перевод с английского.. Под редакцией А.Н. Колмогорова — М.: Мир, 1980. — 536 c.
Скачать (прямая ссылка): 1980brillindzher_d_vremennye_ryady_obrabotka_dannyh_i_teoriya.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 163 >> Следующая


Приведенную выше простую модификацию сглаживания периодограмм, устраняющую пики, изучали Bartlett (1967), Brillinger, Rosenblatt (1967b). Это близко связано с техникой предварительной фильтрации, обсуждаемой в § 5.8. Читатель может обратиться также к работам: Hannan (1961b), Priestley (1962b, 1964) и Nicholls (1967). Albert (1964), Whittle (1952b), Hext (1966) и Walker (1971) рассматривали проблему построения более точных оценок (Dy из выражения (5.11.3).

Обратимся к ситуации, в которой нарушено условие неизменности среднего (5.11.1). Следуя § 2.12, будем изучать модель

с трендом

X(O= S буф, (0+ *(*). (5.11.12)

где ^ = О, ±1, ... , Фї(0> • • • > Фу(0~изв^етные функции, G1, .,.

____, G7—неизвестные постоянные и 8 (t), /=0, ±1, ... ,—-ненаблю-

даемый ряде нулевым средним, удовлетворяющий условию 2.6.1. Такие модели рассматривал Grenander (1954). Эта модель позволяет построить по методу наименьших квадратов оценки G^,... ... ;Q{/} параметров G1, ... , G7, минимизируя сумму

S1 [X(O-OA(O--6уФу(0]2> (5.11.13)

t=o

и оценить затем fee M из ряда остатков

е (0 = X-(O -віГ)Ф, (0 - ... - W% (0. (5.11.14)

t=0f ... , Г — 1. Займемся исследованием асимптотических свойств такой процедуры. Введем некоторые условия относительно функций Фі(0> ... , Фу(0«

Условие 5.11.1. Для заданных действительных функций Фу(0> t = 0, ±1, ... , / = 1, ... , Jf существует последовательность AZ7, T = 1, 2, ... , такаЯу что NT—+oo, N7+1/N7-+ 1 при T —* оо и

Т-\и\

WmN71 2 4>;(t + u)4>k(t) = mJk(u) (5.11.15)

для и = 0у ±1, ... и /, k=\y ... , Jy причем члены последовательности

T-X

T=I., 2, ... , ограничены в совокупности для aiy ... , ak= 1, ... , г; "і, ... ,^-ї = 0, ±1, ... ; .% = 1, 2,----

В качестве примера функций, удоЁлетворяющих этому условию, рассмотрим

фу (0 = #у cos (со,-* + фу) (5.11.16)

для постоянных Rjy со.., ф.-, /=1, ... , </. Нетрудно видеть, что при N7 = T

my4(u)=(-5-^COS^npil/ = *' (5.11.17) (О при /^&.

Некоторые другие примеры приводятся в статье Grenander (1954).

Пусть mjk(и) — элемент матрицы тфф(и), находящийся на пересечении строки / и столбца k, /, 1, ... , J. Как следует из упр. 2.13.31,' существует гX г-матричная функция .Офф (X)9-—я<А,^я с элементами ограниченной вариации, такая, что

я

ТПфф(и) = ^exp{iu%}dO^(X) (5.11.18)



для w==0. Справедлива

Теорема 5.11.1. Пусть e(t), t = 0, ±1, ... ,— действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (/), имеющий нулевое сред-нее и спектр мощности /єє (X), —оо<А,<оо. Пусть также

Ф/(0» /=1» • • • » J> t = 0, ±1,____, удовлетворяют условиюЬЛХЛ,

причем матрица т_фф(0) несингулярна. Предположим, что ряд X(t) задан формулой (5.11.12) для некоторых постоянных G1, ... ... , G7. Пусть Q{T\ ... , G(/)—оценки параметров G1, ... , G7, полученные методом наименьших квадратов. Если ряд e(t) задан формулой (5.11.14), причем

Г-1

ПР (X) = ^ (f"S)' (б-НЛ9)

где (<х) = S Br1TF(Br1 [оь + 2Jt/]) и W (а) удовлетворяет условию 5.6.1, то переменная 8^ = [9}Г), ... , имеет среднее G = [G1, ... , G7] и ковариационную матрицу, такую, что

lim N7E {9<г> - Qy (в<г> - G)} =

Г-?<»

я

= 2ятфф(0)-1 j /ee(a)dG*(a)m*(0)-*, (5.11.20)

'-я

причем последнее выражение асимптотически нормально. Если ВТТ-+ оо при T —>оо, mo IeP(X) асимптотически не зависит от 9(Г) и имеет математическое ожидание*

я

Е/І,Г,(А,)= S WW(k-a)f№(a)da + 0{B?T-1). (5.11.21)



Ковариационная функция этой переменной удовлетворяет ус* ловию

lim B7Tc0V {W(X)9 №(Х)}

= 2я J Г (a)2 dafee(Я») [л {А-ц} + ц {% + ц}], (5.11.22)

причем конечный набор оценок ^(X1), • • • » ffi (K) имеет асимптотически нормальное совместное распределение.

Как видно, в приведенных условиях асимптотическое поведение PeV(K) совпадает с поведением оценки JeV(X), вычисленной

непосредственно по ряду є(/), t = 0, ±1,----Этот эффект мы

уже наблюдали для временного ряда с неизвестным средним, что

Г-1

соответствует случаю У = 1, Фг(і) = 1, B1=Cx, Q[^=Cp=T-1 2 W)-

Из теоремы вытекает

Следствие 5.11.1. При условиях теоремы 6<г> и f?> (X) являются состоятельными оценками для 9 и /ее (Ц соответственно.

Более подробные результаты, аналогичные теореме 5.11.1, приводятся в гл. 6. Этой теме посвящены статьи Grenander (1954), Rosenblatt (1956а), Hannan (1968), представляет также интерес статья Koopmans (1966). На практике часто используется процедура построения спектральных оценок по первым разностям e(t) = X (t)~X (t— 1), t= 1, ...., Г—1. Эта процедура непосредственным образом устраняет линейный тренд (см. упр. 3.10.2).

Возможна более сложная по сравнению с разобранной в настоящем параграфе ситуация, в которой cov {X(t + и), X(t)\ зависит от обоих параметров і и и. Выражаясь точно, спектр мощности в этом случае вообще неопределен, см. Loynes (1968); однако, в том случае, когда cov {X (t + u), X (t)\ достаточно слабе зависит от t, вычислениями спектрального типа можно накопить полезную информацию об отрезке ряда. Все предлагаемые в данной главе спектральные оценки мы можем также строить по укороченным отрезкам ряда, для которых предположение стационарности можно приближенно считать выполненным. К этой ситуации скорее всего хорошо будет подходить спектральная оценка, построенная путем осреднения квадрата выхода узкополосного фильтра (см. §5.9). Такие ситуации обсуждаются в статьях Priestly (1965), Brillinger, Hatanaka (1969).
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 163 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed