Временные ряды. Обработка данных и теория. - Бриллинджер Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
10»
~ 1.5
1.5
ю-1 1
о
Л/2Л
Рис. 5.4.8. Оценка /? (X) составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789—1959 гг. с осреднением двадцати одной ординаты периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали—частоты в цикл/месяц.)
84.
70.
56.
і42.
і і
$28.
1
14.
x
х x x .«
x г
f
J
/
/
/
F
/
x*
x
x
x
5.08
10.15
15.23 20.30
Квантили
25.38
30.45
Рыс. 5.4.9. График распределенных по %*0 500 верхних оценок спектра мощности со сглаживанием пятнадцати прилегающих ординат периодограмм для средних месячных чисел солнечных пятен за 1750—1965 гг.
кривизной. Направление этой кривизны указывает на то, что действительное распределение убывает на бесконечности быстрее теоретического.
Важно отметить, что вычисление fxx (^) для последовательности значений т дает нам гораздо большую информацию о спектре, чем вычисление при одном единственном значении т. Графики оценок спектральной плотности при малых значениях т помогают раскрыть почти периодические компоненты спектра и их местоположение, в то время как графики при больших значениях т дают гладкие кривые спектров и могут быть полезны в вопросах выбора модели. В том случае, когда значения Ixx(2ns/T), s=l, 2, уже получены (возможно вычислены посредством быстрого преобразования Фурье), не составляет большого труда вычислить оценки спектра для нескольких значений т.
5.5. Общий класс спектральных оценок_155'
Предложение об использовании сглаживания периодограмм для улучшения свойств спектральных оценок внес Daniell (1946); см. также Bartlett (1948b, 1966), Jones (1965) и письмо Tick (1966). Bartlett (1950) использовал- %?-распределение для оценок сглаженных периодограмм.
5.5. Общий класс спектральных оценок
Спектральные оценки предыдущего параграфа осредняли ординаты периодограмм в окрестности точки X равномерным образом. Если fxx(a) близка к константе для а, близких к X, тогда это, несомненно, правильная процедура, однако, если fxx(a) ме" няется значительно, то, возможно, лучше осреднять ординаты периодограмм с большим весом в непосредственной окрестности точки X1 чем на некотором расстоянии. Обобщим построение оценки на различные весовые функции.
Пусть Wj, j = 0, ± 1, ..., ± т, — веса, удовлетворяющие условию
т
S Wj=I. (5.5.1)
J=-т
Пусть s(7) — TaKoe целое число, что 2ns (T)/Т близко к X и 2 [s(T) + j] ф 0 (mod Т), j = 0, ±1, ..., ± т. рассмотрим оценку
т
flaw- E w/ix(2n^TT)+']),
і= — tn * '
XT) XX
здесь
если X^O (mod я), (5.5.2)
т Vm 1
Ы=^ДХ{%+Щ^+
если X = O (mod 2я) или если X = ± п, ± Зя, ... и T четно, (5.5.3) если X= ± я, ±3я, ... и Г нечетно; (5.5.4)
Г-1
1{Рх(Х) = (2пТ)^ для — оо < X < оо.
S X (t) ехр {— IXt)
(5.5.5)
Для вычисления математического ожидания определим несколько функций. Положим
м*) = (2яГ)-і[^?]\ _оо<Я<оо. (5.5.6)
Пусть также
т
A7(X) = ? WjFrfk-Щ, (5.5.7)
СТ(Ц =*2>а(*-"?-^/J - (5.5.9)
Из свойств функций F7(A) следует, что ЛГ(А) и 5Г(А) будут весовыми функциями, сконцентрированными в основном в интервале (—2пт/Т, 2ят/Т) для —я<А<я. Функция B7(K) отличается от A7(X) тем, что она имеет исчезающе малую массу для — 2я/Г < А < 2я/7\ В случае равных весов A7(K) и B7(K) прямоугольны по форме. В общем случае форма A7(K) повторяет форму Wj9 j = — m, ..., 0, ..., т.
Приступим к исследованию свойств этой оценки.
Теорема 5.5.1. Пусть X(t), t = 0, ±1, ...,—действительный ряд, причем EX(t)=cx и cov {X (t + и), X (t)} = cxx(u) для t, и = О, ±1, ... . Предположим также, что
І \схх(и)\<оо. (5.5.10)
Пусть fxx (X) задается выражениями (5.5.2)-(5.5.4). Тогда
я
Е/& (X) = j АТ (a) fxx (^п-а) da,
-Я
если А # 0 (mod я), (5.5.11)
я
Е/Ш*)= S Вг(а)/и(-а)Л».
— Я
бела A = O (mod2я) ала Я= Hzя, ±3я, ... и T четно, (5.5.12)
я
Е/& (X) = J C7 (a) fxx (К-a)da,
-Л
если K = ±я, ±3я, ... и T нечетно., (5.5,13)
5.5. Общий класс спектральных оценок
157
Математическое ожидание оценок (5.5.2) — (5.5.4) отличается от математических ожиданий аналогичных оценок § 5.4 использованием взвешенного среднего спектра мощности fxx(a)- В том случае, когда fxx(a) меняется достаточно сильно в окрестности X, мы можем, выбирая должным образом Wj, воздействовать на характер взвешенного среднего, в результате чего можно получить оценку со смещением меньшим, чем в § 5.4.
.Следствие 5.5.1. Если в дополнение к условиям теоремы предполагать, что X—27IS(T)IT = O(T-1) и
2i\u\\cxx(u)\< оо, (5.5.14)
и
то
~ Щ{хх (Ц = fxxM + О (T"1) для -оо<Я<оо. (5.5.15)
В пределе рхх (X) есть асимптотически несмещенная оценка для fxx М-
Относительно структуры моментов второго порядка справедлива
Теорема 5.5.2. Пусть X(t), t = 0, ±1, .••,—действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть PIx(X) задается формулами (5.5.2)-(5.5.4), причем X — 2ns(T)IT = 0(T"1). Тдгда, если Xdt\i?zO (mod2n),
